Parametergleichung

23.04.2012, 19:57

derdon

Parametergleichung

Hallo,

weiß zufällig jemand, wie man diese aufgabe löst?

[attach]24144[/attach]

Die Punkte müssten ja sein: (2 0 0) (0 4 0) und (0 0 5)

desweiteren soll man diese in der Normalenform schreiben.

mfg

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23.04.2012, 21:14

Dopap

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stört dich, dass die Punkte auf den Achsen liegen? wenn nicht, ist eben eine Ebenengleichung in Koordinatenform aufzustellen wenn 3 Punkte bekannt sind.

Das Spezielle kann man aber auch mit der sogenannten Achsenabschnittsform ausnützen.

24.04.2012, 13:35

derdon

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was wäre dafür jetzt eine mögliche parametergleichung und normalenform?

mfg

24.04.2012, 15:42

Dopap

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wenn die Punkte A,B und C und die Ortsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec a ~\vec b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec c \end{eqnarray*}$ sind, wäre eine mögliche Parameterform:

$\begin{eqnarray*} \vec x = \vec a + r\cdot ( \vec b -\vec a) + s \cdot (\vec c - \vec a) \end{eqnarray*}$

diese könnte man in Normalenform umrechnen.

oder wie gesagt gleich in Achsenabschnittsform hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac {x_1} 2 +\frac {x_2} 4 +\frac {x_3} 5 =1 \end{eqnarray*}$

wie lautet jetzt die Parameterform konkret?

24.04.2012, 16:04

derdon

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also ka wie man das richtig formatiert aber ich schreib mal:

a(2 0 0) b(0 4 0) und c(0 0 5)

x = (2 0 0)+ r(-2 4 0) + s(-2 0 5)

für r und s können auch lambda und mu verwendet werden

24.04.2012, 16:24

Dopap

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Zitat:

Original von derdon

für r und s können auch lambda und mu verwendet werden

$\begin{eqnarray*} \vec x =\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -2\\4 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

und dazu brauchst du Hilfe?

Die andere Ebenenform ist die Koordinatenform. Wie schreibt man die mit einem Normalenvektor?
Zuerst: wie lautet "der" Normalenvektor der Ebene??

24.04.2012, 17:59

derdon

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Zitat:

Original von derdon

x = (2 0 0)+ r(-2 4 0) + s(-2 0 5)

ist das nicht dasselbe? ^^

ich schreib ne schulfremdenprüfung und hab leider nicht viel in vektorgeometrie verstanden. ist das so verwerflich?...

ich hab mal folgendes berechnet (Koordinatengleichung):

x= 2-2r-2s
y= 4r
z= 5s

x= 2-2(0,25y)-2(0,2z)
x=2-0,5y-0,4z

weiter komme ich leider nicht... bin mir nicht sicher ob man bei einer mündlichen prüfung einen grafischen rechner für matrizen verwenden darf.

mfg

24.04.2012, 18:18

derdon

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n = (20 10 8)

die normalenform ist demnach

(20 10 8) x [x-(2 0 0)] = 0

mache das zum ersten mal, hoffe es stimmt.

24.04.2012, 18:39

Dopap

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Zitat:

Original von derdon

(20 10 8) x [x-(2 0 0)] = 0

mache das zum ersten mal, hoffe es stimmt.

alles richtig smile

Für's erste mal nicht schlecht!!

Ich empfehle dir noch 2 Hausaufgaben:

1,) die Parameterform durch Elimination der Parameter in die Koordinatenform umwandeln.
2.) mit allgemeinem Ansatz:

$\begin{eqnarray*} E: ax_1+bx_2+cx_3=k \end{eqnarray*}$ durch Einsetzen der Punkte A,B,C ebenfalls das Ergebnis zu bestätigen.

24.04.2012, 18:42

derdon

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ok, danke dir!

schönen abend noch

25.04.2012, 19:11

derdon

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bin mir jetzt nicht ganz sicher aber hier mal meine Koordinatenform:

E: 20x1 + 10x2 + 8x3 = (40 0 0)

der Vektor des Skalarprodukts ist ja ungleich 0, somit hab ich ihn auf die andere Seite gepackt.
Eine weitere Frage der Aufgabe war, was der Vorteil der Normalenform ist. Man hat ja durch die Normalenform eine der einfachsten Möglichkeiten, auf andere Formen zu kommen (Koordinaten- und Parametergleichung), außerdem gibt der Normalenvektor einen orthogonalliegenden Punkt zu den beiden Richtungsvektoren an. Was anderes kann ich mir gerade nicht vorstellen.

mfg

25.04.2012, 19:45

derdon

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hab nun ein bisschen weitergerechnet. mir ist aufgefallen, dass es in der normalenform so ist, dass der ortsvektor eingesetzt in die koordinatenform die summe nicht null werden lässt, wie es bei vielen beispielen im internet der fall ist.

z.b.
20x1 + 10x2 + 8x3 = (40 0 0)

mit punkt (2 0 0) als ortsvektor kommt nicht null raus., was mich irritiert hat, denn bei den meisten beispielen und beim umstellen wird der ortsvektor eingesetzt in die koordinatenform ja = 0

nun habe ich diese Koordinatenform wieder in die normalenform umgerechnet:

E: [x-(-1 2 0)] x (20 10 8), da -1*20 + 10*2 + 0*8 = 0

diese dann in die Parameterform umgewandelt (2 weitere Vektoren mit Ergebnis = 0)

x = (-1 2 0) + r(2 -4 0) + s(-4 -4 10)

RV 1 resultiert aus (1 -2 0)
RV 2 aus (-5 -2 10)

25.04.2012, 21:14

Dopap

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da ist immer noch nicht ales klar, kann nicht alles korrigieren, aber Folgendes sagen:

1.) das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt eine Zahl.!

wenn man die Normalenform $\begin{eqnarray*} \vec n \cdot ( \vec x -\vec a )=0 \end{eqnarray*}$

distributiv ausmultipliziert, dann folgt $\begin{eqnarray*} \vec n \cdot \vec x =\underbrace{\vec n\cdot \vec a}_{=\rm Zahl } \end{eqnarray*}$

multipliziert man zusätzlich links formal aus, erhält man die Koordinatenform.

bei uns: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 8 \end{pmatrix} \cdot \vec x = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=40 \end{eqnarray*}$

die Koordinatenform folgt daraus easy, siehe oben.

So, und jetzt nochmals alles überarbeiten.

25.04.2012, 21:56

derdon

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ja aber ist nicht das hier die koordinatenform?

20x1 + 10x2 + 8x3 = (40 0 0)

ich habe es gemacht wie hier
http://www.rither.de/a/mathematik/linear...n/#abschnitt-2.

bzw. zuerst einmal

20x1 + 10x2 + 8x3 - (40 0 0) = 0

25.04.2012, 22:14

Dopap

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Zitat:

Original von derdon
ja aber ist nicht das hier die koordinatenform?

20x1 + 10x2 + 8x3 = (40 0 0)

Mann oh mann! Das was Rechts steht ist kein Vektor sondern:

(40+0+0)

und so steht es auch in deinem Link.

26.04.2012, 01:13

derdon

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jo gut ich wusste nicht, dass man das so hinschreiben muss, da der vektor beim beispiel gerade 0 ist (-1+4-3). dachte da wurde der vektor nur quer hingeschrieben aber jetzt macht das alles auch iwie sinn ^^

mfg

26.04.2012, 18:15

derdon

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hi,

Ich hätte noch eine Aufgabe, die ich schonmal zum Teil gelöst habe.

Die Gerade g geht durch die Punkte A (2|1|0) und B (3|0|2).

g: x = (2 1 0) + r(1 -1 2)

Prüfen ob Punkt C (0 3 -4) auf der Geraden liegt. Ja für Lambda=-2

nun eine Gerade, die parallel ist (sprich ein Vielfaches von Lambda muss denselben Vektor ergeben) und durch den Punkt D (0 0 4) geht.

Gesagt getan. Nehme D als Ortsvektor und den Punkt P (-2 2 0)

h: x = (0 0 4) + r(-2 2 -4)

wenn man nun für r=-2 bei g einsetzt kommt man auf denselben RV wie h.

Nun soll man noch die Abstände zwischen g und h berechnen. Da war ich etwas überfragt.

mfg

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