Basis, Rang, surjektiv |
23.01.2007, 23:28 | informatikmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Basis, Rang, surjektiv Ich habe die liniearen Abbildungen f und g. Nun habe ich zu f und g folgenden Kern ermittelt, ist dies richtig? ker f={a(1,-1,0) a Elemet R} ker g={a(1,1,0,0),b(0,0,1,-1) a,b Element R} Nun meine Fragen: Ich soll jetzt jeweils eine Basis vom Kern von f und g angeben. Aber ist das nicht schon der Kern den ich da stehen habe? Oder soll ich den Kern eher so schreiben: ker f:{(a,-a,0) a Element R} und dann ist die Basis zum Kern a(1,-1,0)? Könnte mir jemand das bitte erklären? Dann komme ich in der Aufabe nicht weiter. Ich soll den Rang von f und g angeben. Dafür brauche ich die Dimension vom Kern und von dem Vektoraum und dann ist Rang = dim V - dim Kern Ist dim Kern f = 1 und dim Kern g = 2? Da wir bei f einen und bei g zwei Vektoren haben? aber was ist dann dim V? Und als letztes ist noch gefragt ob f bzw g surjektiv ist und warum. Ich weiss dass ein Erzeugendensystem von W sein muss wenn f surjektiv ist. Aber wie sehe oder überprüfe ich das? Vielen Dank für eure Hilfe |
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24.01.2007, 09:01 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wenn Du wirklich meinst dann ist der obige Kern falsch, wenn Du aber meinst, ist obiger Kern richtig. Der Kern von g ist soweit richtig.
Wie ihr die Basis definiert habt so schreibt ihr es auf. Eine Basis ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge Deiner Vektoren im Kern. Und die ahst Du ja schon. Man schreibt auch gern für die Basis B
Die Dimension eines VR ist die Anzahl der Basisvektoren, wenn Du die Basen richtig angegeben hast in der Aufgabe davor musst Du eifnach nur zählen . Und die Dimension deines Urbildraumes ist 3 und die deines Bidlraumes ist 2.
Deine sind die Basisvektoren des Urbildraums, nehm dir diese 3 und bilde sie ab und schau nach ob da ein Erzeugendensystem rauskommt (das heißt ob Du da eine Basis des R² drin findest). |
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24.01.2007, 09:02 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Basis, Rang, surjektiv
Bei Ker(f) fehlt was. Auf was wird z.B. (0,0,1) abgebildet? Bei ker(g) ist die Schreibweise unsauber. Richtig wäre: ker(g) = {a(1,1,0,0) + b(0,0,1,-1) mit a,b Element R} Die Vektoren hinter den Linearfaktoren a bzw. a und b sind dann die Basisvektoren. EDIT: hatte es mir gleich geadcht, daß Mazze schneller ist. |
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24.01.2007, 18:37 | informatikmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
das stimmt, ich habe mich da vertippt.
hat g dann zwei Basisvektoren? (1,1,0,0) + (0,0,1,-1) ? Dim 2? und zur Berechnung des Rangs brauche ich die Basisvektoren des Urbildraums?
da muss ich noachlrüber nachdenken... aber vielen Danke schonmal für die Mühe und gute Hilfe |
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24.01.2007, 18:40 | informatikmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Basis, Rang, surjektiv danke für die Hilfe
ich muss irgendwie noch die 2 berüchsichtigen? weiss aber ncht wie.... |
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25.01.2007, 08:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Basis, Rang, surjektiv Wie schon gesagt wurde: Wenn deine Abbildung ist, dann ist dein Kern richtig. Auf welche Weise bzw. wieso willst du da noch die 2 berücksichtigen? |
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25.01.2007, 09:47 | informatikmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ja das habe ich jetzt auch gemerkt... ich weiss aber immer noch nicht wie ich sehe ob sie surkektiv sind oder nicht und warum |
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25.01.2007, 10:03 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Deine Abbildungen gehen doch in den R². Jetzt mußt du schauen, ob du da alle Elemente irgendwann "erwischst". Dazu reicht es, wenn du die Bilder der Basisvektoren aus dem Urbildraum nimmst und prüfst, ob diese Bilder den R² aufspannen. |
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25.01.2007, 10:22 | informatikmaus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
also ist zum Beispiel f surjektiv, weil die Basis (1,-1,0) auch als Linearkombination von w = (a*x1,a*x2,a*x3) also w=(a*1, a*-1, a*0) darstellen kann? |
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25.01.2007, 10:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nein. Da hast du was mißverstanden. Es geht nicht um die Basis des Kerns, sondern um die Basis des Raums, in dem deine Funktion startet. Surjektivität bedeutet doch folgendes: f: V --> W ist surjektiv genau dann, wenn es zu jedem w aus W ein v aus V gibt mit f(v) = w. |
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25.01.2007, 17:57 | sascha_the_king | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
muss es nicht "mindestens ein" heißen?! |
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25.01.2007, 19:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nun ja. Das Wörtchen "ein" im Zusammenhang mit dem Verb "gibt" beinhaltet das implizit. Ansonsten würde man den Ausdruck "genau ein" verwenden. |
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