Betrag von sqrt(i)

24.04.2012, 10:22

FloTU

Betrag von sqrt(i)

Hallo,

kann mir jemand erklären warum der Betrag von $\begin{eqnarray*} \sqrt(i) \end{eqnarray*}$ =1 ist ?

hier dreh ich mich doch im Kreis ^^

$\begin{eqnarray*} |\sqrt{i}|=\sqrt{\sqrt{i}^2}=\sqrt{i} \end{eqnarray*}$

24.04.2012, 10:24

IfindU

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RE: Betrag von sqrt(i)
$\begin{eqnarray*} |i | =1 \end{eqnarray*}$ , wir suchen eine Zahl z, mit $\begin{eqnarray*} z^2 = i \end{eqnarray*}$ . Insb. muss $\begin{eqnarray*} |z^2| = 1 \end{eqnarray*}$ sein, was ist dann $\begin{eqnarray*} |z| \end{eqnarray*}$ ?

25.04.2012, 10:23

FloTU

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$\begin{eqnarray*} z=\pm \sqrt{1} \Rightarrow |z|=1 \end{eqnarray*}$

würde so Sinn ergeben oder ?

25.04.2012, 14:53

Simmi

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RE: Betrag von sqrt(i)

Zitat:

Original von FloTU

hier dreh ich mich doch im Kreis ^^

Sehr gut erkennt. Das kann man sogar wörtlich sehen Big Laugh

Weil die Multiplikation in den komplexen Zahlen als Drehstreckung (Winkel werden addiert, Längen multipliziert) in der gaußschen Zahlenebene aufgefasst werden kann, muss da natürlich der Betrag von $\begin{eqnarray*} \sqrt{i}=1 \end{eqnarray*}$ sein weil der Betrag von $\begin{eqnarray*} i =1 \end{eqnarray*}$ ist. (Schließlich muss das Quadrat der Länge von Wurzel_aus_i also 1 sein)

Aber gut, das setzt natürlich voraus, dass man das weiß ^^

Zu deiner Frage. Das ergibt so in dem Kontext nicht viel Sinn. (Schließlich ist z ja ganz sicher nicht plus-minus-Wurzel_aus_1, da z doch die Wurzel_aus_i sein soll ). Im Prinzip steht bei IfindU schon fast alles da.

Es muss ja nunmal $\begin{eqnarray*} |z^2|=1 \end{eqnarray*}$ gelten.

Ich hoffe du kennst diesen Zusammenhang: $\begin{eqnarray*} |a*b|=|a|*|b| \end{eqnarray*}$ für a,b komplexe Zahlen.

25.04.2012, 16:38

Nubler

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kleine anmerkung:
der ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt i \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert

25.04.2012, 20:00

Simmi

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Zitat:

Original von Nubler
kleine anmerkung:
der ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt i \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert

Wie kommst du denn darauf? Was du meinst ist vielleicht mehrdeutig, aber das ist nicht das gleiche wie nicht definiert.

28.04.2012, 01:16

mYthos

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Das ist tatsächlich so NICHT definiert, denn der Radikand bei einer Wurzel muss reell und größer oder gleich Null* sein.

Entsprechend umformuliert ist es aber richtig, wenn die Lösungen der Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^2 = i \ \text{ (in} \ \mathbb C) \end{eqnarray*}$

ermittelt werden sollen, bzw. deren Betrag. Genau so sollte die Aufgabe zu interpretieren sein.

(*) Nebenbei ist:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-a} = i \sqrt a \ \text{für} \ a > 0 \end{eqnarray*}$

mY+

28.04.2012, 17:15

Dopap

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die Frage war doch: $\begin{eqnarray*} |\sqrt i| \end{eqnarray*}$

Demnach befinden wir uns doch in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ oder nicht?

Warum sollte dann $\begin{eqnarray*} |\sqrt i| \end{eqnarray*}$ nicht definiert sein ?

28.04.2012, 17:58

thk

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Ich glaube mYthos meint nur, dass z.B. die Lösungen von x^4=-1 nach Wurzel-Definition nicht zu schreiben sind als
$\begin{eqnarray*} z^2=-1, \ z=\pm i, \ x=\pm \sqrt{\pm i} \end{eqnarray*}$
sonsern als
$\begin{eqnarray*} \pm \frac{1}{\sqrt{2} } (1\pm i) \end{eqnarray*}$ .
...woraus sich Betrag 1 auch wieder ergibt smile

28.04.2012, 18:36

Dopap

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ja ok! mir ging es nicht um die Interpretation von der post von mYthos.

Ich bin da mit Simmi einer Meinung:

warum sollte der Ausdruck $\begin{eqnarray*} |\sqrt i| \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ nicht definiert sein?

29.04.2012, 12:23

thk

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Ein Wurzelausdruck ist offenbar nur für reelle Zahlen erklärt und es existiert danach allenfalls der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sqrt{|i|} \end{eqnarray*}$ mit reellem Radikanten, aber (auch im komplexen) nicht $\begin{eqnarray*} |\sqrt{i}| \end{eqnarray*}$ , da komplexe Wurzeln unter Verwendung von reellen Wurzelausdrücken geschrieben werden.

Ein Erfordernis, die Def. zu erweitern, gibt es daher wohl nicht; allerdings vermutlich auch keinen Grund, das nicht zu tun, wenn es der Vereinfachug dienen könnte. Da sind wir wohl einer Meinung.

29.04.2012, 15:14

Dopap

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gut, das scheint ja wohl so zu sein.
Mich hat wohl irritiert, dass mein TR jederzeit solche Ausdrücke akzeptiert:

$\begin{eqnarray*} \sqrt i =\frac {1} {\sqrt 2} (1+i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt [3] {-8} =1+i\sqrt 3 \end{eqnarray*}$

bei $\begin{eqnarray*} z^3=-8 \end{eqnarray*}$ gibt es 3 Lösungen

29.04.2012, 15:42

Huggy

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Zitat:

Original von thk
Ein Wurzelausdruck ist offenbar nur für reelle Zahlen erklärt

Das ist falsch!

Im Komplexen ist

$\begin{eqnarray*} \sqrt z =z^{\frac {1}{2}} \end{eqnarray*}$

für jede komplexe Zahl z definiert. Das ist nur ein Spezialfall der allgemeinen komplexen Potenzfunktion. Und Dopaps Rechner liefert das richtige Ergebnis.

29.04.2012, 15:59

Dopap

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Danke Huggy! Freude

Jetzt fühl' ich mich wieder wohler.

29.04.2012, 16:13

thk

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@Huggy

Kannst du bitte auch mal ein Quelle dazu (komplexe Wurzeldef.) posten? Hier liest sich das in Anlehnung an obiges so:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\cdot e^{\mathrm i \frac{\varphi + 2k\pi}n} \end{eqnarray*}$
und ich entsinne mich das auch so gelernt zu haben.

Wobei wie gesagt nicht klar ist, warum es nicht auch so wie du es schreibst gehen sollte...

Edit: Es geht hier um komplexe Zahlen unter der Wurzel, nicht um komplexe Wurzeln, die nach Fundamentalsatz unumgänglich sind.

29.04.2012, 17:59

Huggy

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Eine übliche Vorgehensweise beginnt mit der komplexen Exponentialfunktion, definiert dann den komplexen Logarithmus und danach die allgemeine komplexe Potenz. Die Exponentialfunktion wird über ihre Potenzreihe definiert:

$\begin{eqnarray*} e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \end{eqnarray*}$

Diese konvergiert für alle komplexen z. Daraus lässt sich für reelles x die Eulerformel herleiten:

$\begin{eqnarray*} e^{ix}= \cos x +i \sin x \end{eqnarray*}$

Und das bedeutet, dass die komplexe Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ -periodisch ist:

$\begin{eqnarray*} e^{z+2k\pi i}=e^z \quad k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Jetzt definiert man $\begin{eqnarray*} w=\ln z \end{eqnarray*}$ , den Hauptwert des natürlichen Logarithmus, als diejenige Lösung von

$\begin{eqnarray*} e^w=z \end{eqnarray*}$

für die gilt: $\begin{eqnarray*} \Im (w )\in (-\pi, \pi] \end{eqnarray*}$

Und schließlich wird die allgemeine Potenz definiert als

$\begin{eqnarray*} z^w=e^{w\ln z} \end{eqnarray*}$

Damit ist auch $\begin{eqnarray*} z^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ eindeutig definiert. An diese Vorgehensweise halten sich auch Taschenrechner und Programme wie Mathematica oder Maple.

Wenn man dagegen, wie in der Wikipedia, unter $\begin{eqnarray*} w=z^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ die Gesamtheit der Lösungen von $\begin{eqnarray*} w^n=z \end{eqnarray*}$ versteht, ist die n-te Wurzel natürlich keine wohldefinierte Funktion.

29.04.2012, 19:14

thk

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OK danke für die lange Herleitung. Gegen solche Eingaben wurzel(i...) werden sich die Programme gewiss nicht wehren. Naja mein Programm lasse ich Wurzeln wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+i}... \ (\Leftarrow x^4-2x^2+2=0) \end{eqnarray*}$ weiter auflösen in
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}+\frac{1}{2}}-j\cdot \sqrt{\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ , da hat man Re und Im, wenngleich nicht unbedingt mehr Ästhetik *g* Also danke.

29.04.2012, 19:38

Dopap

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Ich fasse für mich zusammen:

unter $\begin{eqnarray*} \sqrt {a+bi} \end{eqnarray*}$ kann man die Lösungen von $\begin{eqnarray*} z^2=a+bi \end{eqnarray*}$ verstehen, muss aber nicht.
Definiert ist der Ausdruck aber allemal.

29.04.2012, 20:24

Huggy

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Zitat:

Original von thk
OK danke für die lange Herleitung. Gegen solche Eingaben wurzel(i...) werden sich die Programme gewiss nicht wehren. Naja mein Programm lasse ich Wurzeln wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+i}... \ (\Leftarrow x^4-2x^2+2=0) \end{eqnarray*}$ weiter auflösen in
$\begin{eqnarray*} -\sqrt{\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}+\frac{1}{2}}-j\cdot \sqrt{\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ , da hat man Re und Im, wenngleich nicht unbedingt mehr Ästhetik *g* Also danke.

Wenn man die Definition der allgemeinen komplexen Potenz hat, hindert einen niemand daran, für Spezialfälle einen einfacheren Rechenweg zu wählen. Im Sinne der Wurzel als wohldefinierter Funktion würde sich das negative deines Resultats ergeben.

Der Zusammenhang von $\begin{eqnarray*} \sqrt {1+i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^4-2x+2 =0 \end{eqnarray*}$ ist mir unklar. Die Gleichung hat 4 Lösungen und keine von ihnen stimmt mit den Lösungen von $\begin{eqnarray*} x^2=1+i \end{eqnarray*}$ überein.

Wurzeln als Lösungsmenge von Gleichungen zu definieren, führt schnell zu Problemen. Was bitte soll dann

$\begin{eqnarray*} \sqrt i + \sqrt [3] i \end{eqnarray*}$

sein? Die Summe zweier Mengen, einer 2-elementigen und einer 3-elementigen? Was ist die Summe zweier Mengen? Die Vereinigungsmenge? Das passt hinten und vorne nicht!

29.04.2012, 21:35

Dopap

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@Huggy: endlich mal etwas Klarheit in dem ganzen Thema. Habe darauf schon seit geraumer Zeit gewartet!

29.04.2012, 22:12

thk

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Zitat:

Original von Huggy
Wenn man die Definition der allgemeinen komplexen Potenz hat, hindert einen niemand daran, für Spezialfälle einen einfacheren Rechenweg zu wählen.

Vielmehr setzt doch das Rechnen mit komplexen Wurzeln (oder schon -1) die Rechenregeln mit Wurzeln außer Kraft, was die Definition von Ausdrücken wie $\begin{eqnarray*} \sqrt i \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sqrt -1 \end{eqnarray*}$ infrage stellt Im übrigen ist eine Definition eine Festlegung, die hier nicht aus der allg. Potenz folgt, deren Gültigkeit keiner bestreitet.

Der Zusammenhang von $\begin{eqnarray*} \sqrt {1+i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^4-2x+2 =0 \end{eqnarray*}$ ist mir unklar. ..
Mir auch. Gilt das auch für die von mir genannte $\begin{eqnarray*} {\color{blue}x^4-2x^2+2=0} \end{eqnarray*}$ ? (als EINE Lösung)

Wurzeln als Lösungsmenge von Gleichungen zu definieren, führt schnell zu Problemen. Was bitte soll dann

$\begin{eqnarray*} \sqrt i + \sqrt [3] i \end{eqnarray*}$

sein? Die Summe zweier Mengen, einer 2-elementigen und einer 3-elementigen? Was ist die Summe zweier Mengen? Die Vereinigungsmenge? Das passt hinten und vorne nicht!

Computed by Wolfram Mathematica
x^8-2 x^6+4 x^5+5 x^4+8 x^3+12 x^2-4 x+1=0
Bist du nicht der Meinung, dass Wurzeln von Gleichungen beschrieben werden können und ist das nicht der Sinn?!

Aber das ist eigentlich schon nicht mehr das Thema und das haben wir ja geklärt.

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