Epsilon Tensor und Kronecker-Delta

24.04.2012, 16:10	JonnyMaddox	Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon Tensor und Kronecker-Delta moin ! Berechnen Sie (Einsteinsche Summenkonvention!): a) : $\begin{eqnarray} \delta_{ij}\epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ b) : $\begin{eqnarray} a_{i}a_{j}\epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ c) : $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijm}\epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ d) : $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ Könnte mir auch jemand erklären was das hier bedeutet: $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmk} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{ij} \end{eqnarray}$ ? Kann man das ausschreiben? Also ich weiß das z.b. das Levi-Civita-Symbol dafür da is auszudrücken wenn etwas -1 , 1 oder 0 ist (z.b. beim Vektorprodukt), aber bedeutet das Symbol nur diese Permutation ? Das Kronecker-Symbol bezieht sich immer auf die Einheitsvektoren. Ich versuch mal die a) $\begin{eqnarray} \delta_{12}\epsilon_{123} = 0 \end{eqnarray}$ Weil das Kronecker Symbol wird 0 und Epsilon wird 1 und 10 = 0 Geht man so an die Aufgabe heran? Wenn ich die Indizes vertausche: $\begin{eqnarray} \delta_{21}\epsilon_{213} = 0 \end{eqnarray*}$ Weil Kronecker wieder 0 wird, egal wie ich die Indizes vertausche es wird immer 0, es sei denn zwei Indizes können auch gleich sein? Gibt es so eine Art Regeln wie ich mit diesen Dingern umgehen muss?? Gruß
25.04.2012, 10:56	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze folgende Hinweise: Hinweis 1: Das Kroeckerdelta bewirkt nur eine Umbenennung des jeweiligen Index, z.B. $\begin{eqnarray} \delta_{ij}A_i=A_j \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \delta_{hi}A_{mni}=A_{mnh} \end{eqnarray}$ usw. Hinweis 2: Das Levi-Civita-Symbol sollte man bei Rechnungen wie folgt durch eine Determinante ausdrücken, weil man dann die Determinantengesetze verwenden kann $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}=\begin{vmatrix} \delta_{i1} & \delta_{i2} & \delta_{i3} \\ \delta_{j1} & \delta_{j2} & \delta_{j3} \\ \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ ------------------- Aufgabe a) $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\delta_{ij}=\underbrace{\epsilon_{jjk}}_{\text{Hinweis 1}}=0 \end{eqnarray}$ (weil 2 Indizes identisch sind). ------------------- Aufgabe b) $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}a_ia_j=\underbrace{\begin{vmatrix} \delta_{i1} & \delta_{i2} & \delta_{i3} \\ \delta_{j1} & \delta_{j2} & \delta_{j3} \\ \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3} \end{vmatrix}}_{\text{Hinweis 2}}a_ia_j=\underbrace{\begin{vmatrix} \delta_{i1}a_i & \delta_{i2}a_i & \delta_{i3}a_i \\ \delta_{j1}a_j & \delta_{j2}a_j & \delta_{j3}a_j \\ \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3} \end{vmatrix}}_{\text{laut Determinantengesetz}}=\underbrace{\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_1 &a_2 & a_3 \\ \delta_{k1} & \delta_{k2} & \delta_{k3} \end{vmatrix}}_{\text{Hinweis 1}}=0\,\,\,\text{weil 2 Zeilen identisch sind} \end{eqnarray}$ --------------------- Aufgabe c) $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijm}\epsilon_{ijk}=\underbrace{\begin{vmatrix} \delta_{i1} & \delta_{i2} & \delta_{i3} \\ \delta_{j1} & \delta_{j2} & \delta_{j3} \\ \delta_{m1} & \delta_{m2} & \delta_{m3} \end{vmatrix}\begin{vmatrix} \delta_{i1} & \delta_{j1} & \delta_{k1} \\ \delta_{i2} & \delta_{j2} & \delta_{k2} \\ \delta_{i3} & \delta_{j3} & \delta_{k3} \end{vmatrix}}_{\text{Hinweis 2}}=\underbrace{\begin{vmatrix} \delta_{ii} & \delta_{ij} & \delta_{ik} \\ \delta_{ji} & \delta_{jj} & \delta_{jk} \\ \delta_{mi} & \delta_{mj} & \delta_{mk} \end{vmatrix}}_{\|A\|\cdot \|B\|=\|AB\|}=\begin{vmatrix} 3 & \delta_{ij} & \delta_{ik} \\ \delta_{ji} & 3 & \delta_{jk} \\ \delta_{mi} & \delta_{mj} & \delta_{mk} \end{vmatrix}=\underbrace{\delta_{mi}\begin{vmatrix} \delta_{ij} & \delta_{ik} \\ 3 & \delta_{jk} \end{vmatrix}-\delta_{mj}\begin{vmatrix} 3 & \delta_{ik} \\ \delta_{ji} & \delta_{jk} \end{vmatrix}+\delta_{mk}\begin{vmatrix} 3 & \delta_{ij} \\ \delta_{ji} & 3 \end{vmatrix}}_{\text{Determinante nach 3.Zeile entwickeln}}<br /> =\underbrace{\begin{vmatrix} \delta_{ij}\delta_{mi} & \delta_{ik}\delta_{mi} \\ 3 & \delta_{jk} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 3 & \delta_{ik} \\ \delta_{ij}\delta_{mj} & \delta_{jk}\delta_{mj} \end{vmatrix}}_{\text{laut Determinantengesetz}}+\delta_{mk}\begin{vmatrix} 3 & \delta_{ij} \\ \delta_{ji} & 3 \end{vmatrix}=\underbrace{\begin{vmatrix} \delta_{mj} & \delta_{mk} \\ 3 & \delta_{jk} \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 3 & \delta_{ik} \\ \delta_{im} & \delta_{mk} \end{vmatrix}}_{\text{Hinweis 1}}+\delta_{mk}(9-\underbrace{\delta_{ij}\delta_{ji}}_{\delta_{ii}=3})<br /> =\underbrace{\delta_{mj}\delta_{jk}}_{\delta_{mk}}-3\delta_{mk}-3\delta_{mk}+\underbrace{\delta_{im}\delta_{ik}}_{\delta_{mk}}+6\delta_{mk}=2\delta_{mk} \end{eqnarray}$ d) Rechne nach dem gleichen Prinzip wie bei Aufgabe c). Es müsste rauskommen $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=3!=6 \end{eqnarray}$ .
25.04.2012, 15:38	JonnyMaddox	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ehos Vielen, vielen Dank für die Mühe, hab mich gefreut Eine Frage die ich mir allerdings sofort gestellt hab war(und ich denke die ist wichtig damit ich den Rest auch verstehe), wie kommt man auf diese Deteminanten Darstellung des Levi-Civita Symbols? Gruß
25.04.2012, 23:22	JonnyMaddox	Auf diesen Beitrag antworten »
Hö wieso wird denn bei der c) die beiden Teile 3 ? Wieso das Epsilon als Determinante Dargestellt werden kann hab ich nun auch verstanden Ich bin noch am drüber Nachgrübeln, ich melde mich wenn ich erleuchtet bin^^ Gruß
26.04.2012, 12:41	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu deiner Frage: $\begin{eqnarray} \delta_{ii}=\underbrace{\delta_{11}+\delta_{22}+...+\delta_{nn}}_{\text{Summenvereinbarung}}=1+1+...+1=n=\text{Raumdimension} \end{eqnarray}$ Die Lösung von Aufgabe d) kann man ohne "Determinantenrechnung" unmittelbar ablesen, denn die Summe $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ hat offenbar nur 3! nichtverschwindende Summanden, wobei jeder dieser Summanden einer der 6 Index-Permutationen (ijk), (jki), (kij), (ikj), (jik), (kji) entspricht. Offenbar haben diese Summanden entweder den Wert $\begin{eqnarray} 1\cdot1=1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (-1)\cdot (-1)=1 \end{eqnarray}$ . Also liefert die Summe $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=1²+1²+1²+(-1)²+(-1)²+(-1)²=6 \end{eqnarray}$ .
26.04.2012, 23:32	JonnyMaddox	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, und woher weiß man das es 3! "nicht verschwindende" Summanden gibt? Soll ich im Kopf alle Summen durch gehen?? Wer schafft sowas?
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27.04.2012, 09:17	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe mal alle Ausdrücke $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ auf, die nicht verschwindenden. Dabei durchlaufen die 3 indizes (ijk)=(123) alle möglichen Permutationen (=Reihenfolgen). Laut elementarer Kombinatorik existieren im Fall n=3 genau 3!=6 solche Permutationen: $\begin{eqnarray} \epsilon_{123}=+1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \epsilon_{231}=+1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \epsilon_{312}=+1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \epsilon_{132}=-1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \epsilon_{213}=-1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \epsilon_{321}=-1 \end{eqnarray}$ . Im 4-dimensionalen Raum hätte man für die 4 Indizes (hijk)=(1234) genau 4!=24 Permutationen usw. Für alle anderen Index-Varianten verschwindet $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ , weil dann mindestens zwei Indizes identisch sein müssen, z.B. $\begin{eqnarray} \epsilon_{121}=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \epsilon_{333}=0 \end{eqnarray}$ usw. In der Summe $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk} \end{eqnarray}$ muss man von den 3³=27 Summanden also nur die oben aufgeführten 6 Index-Permutationen berücksichtigen und kommt zu dem Ergebnis $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijk}=1²+1²+1²+(-1)²+(-1)²+(-1)²=6 \end{eqnarray}$ Allgemein ergibt diese Summe im n-dimensionalen Raum $\begin{eqnarray} \epsilon_{i_1i_2...i_n}\epsilon_{i_1i_2...i_n}=n! \end{eqnarray}$
29.04.2012, 16:07	JonnyMaddox	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Ehos ! Ich denk ich habs jetzt verstanden, muss halt noch ein wenig üben Auf jeden Fall super Hilfe von dir Ich wünsche dir dann noch einen schönen Sonntag Gruß

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