Spiegelung an Hyperebene

26.04.2012, 19:48	ganzruhig	Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelung an Hyperebene Guten Abend und mal wieder brauche ich Hilfe.. Dies mal ist das ziemlich Fatal, denn das Thema wurde so gut wie übersprungen. Also es geht um die Aufgabe nummer 3 auf diesem Übungsblatt: http://wwwmath.uni-muenster.de/u/antongi.../LA2/blatt4.pdf Alles was ich über dieses Thema weiß ist: Unter einer Hyperebene versteht man einen n-1 dimensionalen Untervektoraum von dem (V, q) quadratischen Vektoraum der dimension n. Und unter einer Spiegelung versteht man eine Isometrie aus SO Gruppe, sodass für alle x aus (n-1) raum s(x)=x ist aber für y aus dem restlichen 1 dimensionalen raum s(y)= -y Und ja, es ist mir klar, dass bezüglich einer orthogonalbasis diese Isometrie eine Abbildungsmatirx hat mit lauter 1 auf der diagonale und einer -1 ganz am ende, sonst nullen... Aber bei bestem willen weiß ich nicht wie ich mit so einem wissen an die Aufgabe rankommen soll. Könnte jemand vllt paar aufklärende Worte bezüglich schreibweise in dieser Aufgabe sagen? 1) H1 = Rv1 , soll das die menge der reelen zahlen multipliziert mit einem vektor sein?? Natürlich nicht, also was stellt es dar? 2) Bei dem index k bei v_k denke ich mir, dass k entweder die 1 oder die 2 ist, richtig? Welches Wissen fehlt mir eigentlich um diese Aufgabe zu bewältigen? Auf die erste "warum" frage, hätte ich sogar vllt die richtige Antwort, ich kann ja diese exp funktion als summe von cosinus und sinus darstellen: e^ia = cos(a) + isin(a) und selbst verständlich darf a alles von 0 bis phi annehmen, da dieses Intervall zum Defenitionsbereich von sowohl cos als auch sin gehört. Freu mich um egal welche hinweise, außer den der schon bei der Aufgabe steht mit dem komme ich überhaupt nicht klar..
27.04.2012, 11:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
In Aufgabe 3 wird Schulmathematik durch mathematisches Kauderwelsch in ein scheinbar kompliziertes Problem umgewandelt. -------------- Den ungespiegelten Originalvektor in der Gaußschen Zahlenebene bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray} z=Re^{i\gamma} \end{eqnarray}$ . Die Einheitsvektoren der beiden Geraden, an denen dieser Vektor nacheinander gespiegelt werden soll, sind $\begin{eqnarray} e^{i\alpha_1} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} e^{i\alpha_2} \end{eqnarray}$ . Wie man sich anhand einer Skizze leicht klar macht, lautet der komplexe Vektor nach der 1.Spiegelung $\begin{eqnarray} z'=Re^{i[\alpha_1+(\alpha_1-\gamma)]}=Re^{i(2 \alpha_1-\gamma)} \end{eqnarray}$ . Nach der 2.Spiegelung hat man in gleicher Weise $\begin{eqnarray} z''=Re^{i[2\alpha_2-(2\alpha_1-\gamma)]}=Re^{i[2\alpha_1-2\alpha_2+\gamma]} \end{eqnarray}$ . Dreht man denselben originalen Vektor $\begin{eqnarray} Re^{i\gamma} \end{eqnarray}$ um einen Drehwinkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ , so entsteht der Vektor $\begin{eqnarray} Re^{i(\gamma+\phi)} \end{eqnarray}$ . Vergleicht man diesen mit dem obigen doppelt gespiegelten Vektor $\begin{eqnarray} z''=Re^{i[2\alpha_1-2\alpha_2+\gamma]} \end{eqnarray}$ , lautet dort der Drehwinkel in der Tat $\begin{eqnarray} \phi=2\alpha_2-2\alpha_1=2\underbrace{(\alpha_2-\alpha_1)}_{\alpha}=2\alpha \end{eqnarray}$ .
27.04.2012, 21:43	ganzruhig	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erst mal für deine Antwort paar klärungsfragen: "komplexe Vektor nach der 1.Spiegelung $\begin{eqnarray} z'=Re^{i[\alpha_1+(\alpha_1-\gamma)]}=Re^{i(2 \alpha_1-\gamma)} \end{eqnarray}$ " Ich streite es nicht ab, aber woher kommt diese rechenregel? Ich habe versucht die Rechnung nachzuvollziehen, also die regel sieht für mich dann so aus, möchte man einen vektor an einer geraden spiegeln, so muss ich das doppelte von ihrem Exponenten nehmen und den Exponent meines vektor abziehen (i nicht betrachten). Die sache mit dem winkel hast du ja sofort erklärt, aber kannst du mir irgendwelche Quellen geben, damit ich meine rechnung auch belegen kann. Danke noch mal für die Lösung der Aufgabe , liest man was du schreibst, war sie eigentlich einfach, jetzt nur noch regeln erklärt bekommen, dann kann ich aufschreiben.
28.04.2012, 21:01	ganzruhig	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir nicht sicher ob Ehos übers Wochenede noch auftaucht, deswegen, wenn irgendjemand sonst diese Fragen beantworten könnte, wäre ich sehr dankbar!
29.04.2012, 19:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erkläre die Spiegelung eines 2-dimensionalen Vektors mal ohne komplexe Zahlen: Spiegelt man einen 2-dimensionalen Vektor, der mit der x-Achse den Winkel $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ einschließt, an einer Geraden, die mit der x-Achse den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha_1 \end{eqnarray}$ einschließt, so schließt der gespiegelte Vektor mit der x-Achse den Winkel $\begin{eqnarray} 2\alpha_1-\gamma \end{eqnarray}$ ein. Mache dir das anhand einer Skizze klar! Beispiel: Spiegelt man einen Vektor mit dem Winkel $\begin{eqnarray} \gamma=60° \end{eqnarray}$ an einer Geraden mit dem Winkel $\begin{eqnarray} \alpha_1=70° \end{eqnarray}$ , so hat der gespiegelte Vektor den Winkel $\begin{eqnarray} \gamma'=2\alpha_1-\gamma=2\cdot 70°-60°=80° \end{eqnarray}$ Spiegelt man den eben gespiegelten Vektor mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \gamma' \end{eqnarray}$ nochmals an einer 2.Geraden mit dem Winkel $\begin{eqnarray} \alpha_2 \end{eqnarray}$ , so ergibt sich der neue Winkel nach der gleichen Formel wie oben, nämlich $\begin{eqnarray} \gamma''=2\alpha_2-\gamma' \end{eqnarray}$ . Setzt man darin den Winkel $\begin{eqnarray} \gamma' \end{eqnarray}$ nach der 1.Spiegelung ein, hat man insgesamt nach der 2.Spiegelung den Winkel $\begin{eqnarray} \gamma ''=2\alpha_2-\gamma '=2 \alpha_2-\underbrace{(2\alpha_1-\gamma )}_{\gamma'}=2(\alpha_2-\alpha_1)+\gamma \end{eqnarray}$ . Insgesamt wurde der "alte" Winkel $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ durch die beiden Spiegelungen also um den Winkel $\begin{eqnarray} 2(\alpha_2-\alpha_1) \end{eqnarray}$ "weitergedreht". Genau das solltest du beweisen.
30.04.2012, 12:34	ganzruhig	Auf diesen Beitrag antworten »
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