bildet die Menge der reellen Polynome eine Gruppe?

27.04.2012, 22:40

Christian_P

bildet die Menge der reellen Polynome eine Gruppe?

gegeben ist die Menge $\begin{eqnarray*} M=\left\{P(x)\!= a+\acute{a}x\; , \quad a\:, \acute{a}\in \mathbb{R}\:, \; \acute{a}\!\ne 0\right\} \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} \left( M\: , \: \circ\right) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe? $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ ist die Komposition zweier Funktionen.

Die Assoziativität ist eine Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ , daher ist hier nichts zu zeigen. $\begin{eqnarray*} \to \left( M\: , \: \circ\right) \end{eqnarray*}$ ist assoziativ.

Existenz eines neutralen Elements: $\begin{eqnarray*} P_{01}(x)=x \qquad P_{a \acute{a}}(x)=a+\acute{a}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{a \acute{a}}(x)\circ P_{01}(x)=P_{a \acute{a}}(P_{01}(x))=a+\acute{a}x =P_{a \acute{a}}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{01}(x) \circ P_{a \acute{a}}(x) =P_{01}(P_{a \acute{a}}(x))=a+\acute{a}x =P_{a \acute{a}}(x) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} P_{01}(x)=x \end{eqnarray*}$ existiert ein neutrales Element.

Existenz eines inversen Elements:

$\begin{eqnarray*} P_{a \acute{a}}(x) \circ P_{i}(x)= P_{01}(x)\quad\to \quad a+\acute a(P_i(x))=x \quad \to \quad P_i(x)=\frac{x-a}{\acute a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_{i}(x) \circ P_{a \acute{a}}(x)= P_{01}(x)\quad \to \quad \frac{(P_{a \acute{a}}(x))-a}{\acute a}=x \quad \to \quad \frac{(a+\acute a x)-a}{\acute a}=x \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} P_i(x)=\frac{x-a}{\acute a} \end{eqnarray*}$ existier ein inverses Element für alle $\begin{eqnarray*} P(x)\in M \end{eqnarray*}$

damit hat sich $\begin{eqnarray*} \left( M\: , \: \circ\right) \end{eqnarray*}$ als Gruppe erwiesen.

Ist das soweit in Ordnung?

viele Grüße.

27.04.2012, 23:42

Mulder

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RE: bildet die Menge der reellen Polynome eine Gruppe?
Ich würde das Inverse vielleicht an wenigstens einer Stelle noch etwas umschreiben und den Bruch beseitigen, damit man auch genau sieht, dass $\begin{eqnarray*} P_i(x) \end{eqnarray*}$ überhaupt in der Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

$\begin{eqnarray*} P_i(x) =-a \acute a^{-1} + \acute a^{-1}x \end{eqnarray*}$

Das verdeutlicht es vielleicht eher, als wenn man da diesen Bruch stehen lässt. Auch wenn der Bruch auf den ersten Blick übersichtlicher erscheinen mag. Augenzwinkern

So hat man das Inverse jedenfalls klar als ebenfalls lineare Funktion identifiziert.

Sonst ist wohl alles okay, wenn du auch das mit der Assoziativität direkt so hinschreiben darfst.

Edit: Und ab in die Algebra damit.

28.04.2012, 15:18

Christian_P

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Danke Mulder, dass du's dir angeschaut hast.

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Assoziativität zeigen muss. Ich habe die Aussage "Die Komposition von Funktionen ist assoziativ" einfach aus einem Buch genommen. Da es sich um genau diese Komposition handelt, denke ich, dass man das vielleicht weglassen kann bzw. man's nur erwähnen muss.

Gruß

28.04.2012, 15:48

Mulder

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Naja gut, dass die Menge aller linearen Funktionen bezüglich Komposition schon eine Gruppe bildet, wird insgesamt schon in irgendwelchen Büchern stehen. Das ist ja nun keine Weltneuheit. Augenzwinkern

Entscheidend ist, ob du das schon benutzen darfst, also ob es z.B. in einer Vorlesung schon mal bewiesen worden ist. Das kann ich aber natürlich nicht sagen, ich sitze ja nicht in eurer Vorlesung.

28.04.2012, 15:51

Mystic

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Was die Assoziativität betrifft, ist gegen dein Argument m.E. nichts einzuwenden, wohl aber hast du vergessen zu zeigen, dass die Komposition auf der Menge M überhaupt eine binäre Operation ist...

28.04.2012, 16:28

Christian_P

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Meinst du $\begin{eqnarray*} \circ \! : M \times M \to M \end{eqnarray*}$ also, dass ich auf zwei Elemente der Menge M die Komposition anwende, und dann wieder ein Objekt der Menge M herauskommen muss?

28.04.2012, 16:40

Mystic

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Ja, genau dies... Dies ist zwar hier auch mehr oder weniger trivial, sollte aber zumindestens erwähnt werden...

28.04.2012, 18:53

Christian_P

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Zitat:

Original von Mulder
Entscheidend ist, ob du das schon benutzen darfst, also ob es z.B. in einer Vorlesung schon mal bewiesen worden ist. Das kann ich aber natürlich nicht sagen, ich sitze ja nicht in eurer Vorlesung.

Die Komposition mit den Eigenschaften hatten wir schon besprochen. Es wird sich in der Übung zeigen, ob der Prof. das so durchgehen lassen wird. Ich (oder die Anderen) können ja dann genauer darauf eingehen.

Ja Mystic: Ich bin weit davon entfernt und auch gar nicht in der Position, irgendetwas als trivial anzusehen. Ich bin für jeden Tipp dankbar.

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