Zahlentheorie

24.01.2007, 12:03	frustriert	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie Ich muss mir gerade den Bereich der Zahlentheorie selber beibringen und stehe noch ganz am Anfang. Verstehe irgendwie noch nicht, wie man Aufgaben des Typs $\begin{eqnarray} x^{2} + 5x + 1\equiv 0 mod 127 \end{eqnarray}$ löst. Ich weiss, dass das wohl ziemlich trivial ist, trotzdem finde ich keine Anleitung. Kann mir irgendjemand helfen?
24.01.2007, 12:16	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt ganz drauf an, worauf du aufbauen kannst. Z.B. ist die Theorie der quadratischen Reste/Nichtreste sehr gut ausgebaut, und zwar rund um das Quadratische Reziprozitätsgesetz. Daher ist es ganz zweckmäßig, solche Gleichungen wie bei dir auf eine vollständige quadratische Form zu bringen, etwa durch quadratische Ergänzung. Da der Faktor 5 vor dem linearen Glied ungerade ist, macht das eine Multiplikation der ganzen Gleichung mit 4 notwendig: $\begin{eqnarray} 0\equiv 4(x^2+5x+1) = (2x+5)^2-21\mod 127 \end{eqnarray}$ Mit Substitution $\begin{eqnarray} y=2x+5 \end{eqnarray}$ läuft das auf die Frage hinaus, ob 21 quadratischer Rest modulo 127 ist - oder eben nicht.
25.01.2007, 09:28	frustriert	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt klappts ;-)
01.02.2007, 08:37	frustriert	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen! Habe jetzt doch noch eine Frage: Wenn ich die ganze Gleichung mit 4 multipliziere, muss ich dann nicht auch noch 127 mit 4 multiplizieren?
01.02.2007, 09:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du machen, ist nicht falsch, muss aber nicht sein: 4 ist teilerfremd zu 127, also ist die Multiplikation mit 4 eine äquivalente Umformung: $\begin{eqnarray} \left( x \equiv 0 \mod m \quad\Longleftrightarrow\quad ax\equiv 0\mod m \right) \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} a,m \end{eqnarray}$ teilerfremd Was anderes wäre es natürlich, wenn der Modul eine gerade Zahl gewesen wäre.
01.02.2007, 10:18	frustriert	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum bekomme ich dann aber z.B. bei $\begin{eqnarray} x^{2} + 26x + 7 \equiv 0 mod 31 \end{eqnarray}$ bzw. mod 124 unterschiedliche Ergebnisse raus? Vielleicht verrechne ich mich auch irgendwo, aber ich habe es jetzt schon mehrmals probiert... Danke trotzdem schonmal!
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01.02.2007, 11:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bekommst du denn da raus, und was genau hast du gerechnet!!! Bitte präzise angeben, und nicht solche unverbindlichen, ungenauen Äußerungen.
01.02.2007, 11:49	frustriert	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe einmal die Gleichung quadratisch ergänzt und mod 124 gerechnet und kam zu folgendem Zwischenergebnis: 2x+26 kongr. +/- 7 mod 31 was wiederum zu einer Lösung x kongr. 25 bzw.11 mod 31 führt. Wenn ich die selbe quadratisch ergänzte Gleichung nun aber mod 31 rechne, bekomme ich folgendes Zwischenergebnis: 2x +26 kongr. +/- 28, was wiederum zu einer Lösung x kongr. 1 bzw. 8 mod 31 führt. Ich hoffe, meine Frage ist jetzt verständlicher.
01.02.2007, 11:55	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Der genaue Rechenweg fehlt wieder, aber ist ja dein Problem... Hast du mal die Probe gemacht? Wohl nicht, sonst hättest du gemerkt, das das meiste davon falsch ist.
02.02.2007, 09:41	frustriert	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe meinen Fehler gefunden! War ein Rechenfehler, habe jedesmal beim Auflösen des Quadrates vergessen, die Wurzel zu ziehen... Trotzdem nochmal Danke

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