Logik

28.04.2012, 23:34

Thomas007

Logik

Guten Abend allerseits

Ich habe eine Frage: Wie kann ich den Allquantor durch den Existenzquantor und Konjunktionen ersetzen?
$\begin{eqnarray*} \forall x (mensch(x)) \end{eqnarray*}$

Äquivalent wäre ja zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \exists y (mensch(y) \wedge \forall x (mensch(x) --> ist(x,y))) \end{eqnarray*}$

Aber offensichtlich verwende ich Operatoren und Quantoren, die ich nicht darf. Also wie kann man dieses for_all umschreiben? Exists x (mensch(x)) ist ja nicht äquivalent.

Danke

28.04.2012, 23:47

Thomas007

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RE: Logik
Ich habe die Lösung (so glaube ich) soeben selber gefunden.
Nur mit dem Existenzquantor und der Konjunktion geht das nicht, oder?
...aber ich kann natürlich alle Elemente, die in der Menge "mensch" sind, auflisten. smile

29.04.2012, 00:04

Thomas007

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Wo ich aber noch Probleme habe:
$\begin{eqnarray*} \exists x (mensch(x) \wedge macht(x,y)) \end{eqnarray*}$
Gibt es dazu eine äquivalente Form, die nur aus for-alls und Disjunktionen besteht?

29.04.2012, 00:06

Math1986

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RE: Logik

Zitat:

Original von Thomas007
Ich habe eine Frage: Wie kann ich den Allquantor durch den Existenzquantor und Konjunktionen ersetzen?
$\begin{eqnarray*} \forall x (mensch(x)) \end{eqnarray*}$

Äquivalent dazu wäre
$\begin{eqnarray*} \neg\exists x (\neg mensch(x)) \end{eqnarray*}$

mir ist nur nicht klar, inwiefern die anderen Terme dazu äquivalent seien sollen, und worauf du überhaupt hinaus willst verwirrt

29.04.2012, 00:37

Thomas007

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RE: Logik
Hm, aber dann brauche ich ein not. (bzw. zwei).
Gibt es keine Möglichkeit, das Beispiel von meinem 3. Post nur mit All-quantoren und Disjunktionen zu schreiben?

29.04.2012, 00:52

Math1986

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RE: Logik

Zitat:

Original von Thomas007
Hm, aber dann brauche ich ein not. (bzw. zwei).
Gibt es keine Möglichkeit, das Beispiel von meinem 3. Post nur mit All-quantoren und Disjunktionen zu schreiben?

Eine andere Möglichkeit gibt es für das erste Beispiel nicht.

Was hat das dritte Beispiel damit zu tun?

29.04.2012, 01:16

Thomas007

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RE: Logik
Ok.
Das dritte Beispiel ist unabhängig vom ersten. (Also die Menge "Mensch" ist dieselbe, aber das ist nicht relevant.)

29.04.2012, 11:57

Thomas007

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RE: Logik
Zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \exists x (mensch(x) \wedge macht(x,y)) \end{eqnarray*}$

Wenn man das Umschreiben will und nur Allquantoren und Disjunktionen benutzen darf, wäre folgendes korrekt?
$\begin{eqnarray*} \neg (mensch(x) \vee \forall (\neg macht(x,y))) \end{eqnarray*}$

29.04.2012, 12:14

Math1986

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RE: Logik

Zitat:

Original von Thomas007
Zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \exists x (mensch(x) \wedge macht(x,y)) \end{eqnarray*}$

Wenn man das Umschreiben will und nur Allquantoren und Disjunktionen benutzen darf, wäre folgendes korrekt?
$\begin{eqnarray*} \neg (mensch(x) \vee \forall (\neg macht(x,y))) \end{eqnarray*}$

Ne, das wäre nicht korrekt, da das erste x nicht frei stehen darf.

Ich verstehe aber nicht so ganz worauf du eigendlich hinauswillst, kannst du mal die komplette Aufgabenstellung posten?

29.04.2012, 12:24

Thomas007

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Also es geht bei der Aufgabe nur darum, alle Allquantoren durch Existenzquantoren und Konjunktionen sowie alle Existenzquantoren durch Allquantoren und Disjunktionen zu ersetzen.

...wie sähe die Umformung korrekt aus?

29.04.2012, 19:30

Math1986

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Analog zum ersten:
$\begin{eqnarray*} \neg\forall x \neg (mensch(x) \wedge macht(x,y)) \end{eqnarray*}$

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