Mächtigkeit der Menge aller Topologien auf R

29.04.2012, 10:37	Caspar Spenrath	Auf diesen Beitrag antworten »
Mächtigkeit der Menge aller Topologien auf R Hallo, ich interessiere mich für die Mächtigkeit der Menge aller Topologien auf R. Da eine Topologie eine Teilmenge der Potenzmenge von R ist, ist entsprechend die Menge aller Topologien T(R) eine Teilmenge der Potenzmenge der Potenzmenge von R. Damit stehen für die Mächtigkeit von T(R) drei Kandidaten zur Verfügung, die Mächtigkeit von R, die der Potenzmenge von R und die der Potenzmenge der Potenzmenge von R. Hat jemand eine Idee oder eine Quelle? Danke vorab Johann
29.04.2012, 15:07	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ scheidet aus, denn man auf folgende Weise $\begin{eqnarray} \vert \mathcal P(\mathbb R)\vert \end{eqnarray}$ Topologien bauen: 1.: Mache dir klar, dass für jeden Filter F und jeden topologischen Raum T gilt: $\begin{eqnarray} F \cup \emptyset \end{eqnarray}$ bildet eine Topologie auf T. 2.: Betrachte für jedes $\begin{eqnarray} A \in \mathcal P(\mathbb R) \end{eqnarray}$ den Hauptfilter $\begin{eqnarray} \{ B \in \mathcal P (\mathbb R) : A \subseteq B \} \end{eqnarray}$ . Eine generelle Frage habe ich. Hast du dir diese Frage selbst gestellt, oder hast du sie aus einem Übungsblatt o.ä.? Wenn ersteres der Fall ist möchte ich dich bevor du zu viel Zeit investierst warnen. Viele Fragen bzgl. Mächtigkeiten führen ohne eine gewisse Vertrautheit mit axiomatischer Mengenlehre oft nicht zu befriedigenden Ergebnissen. Ein Beispiel für eine solche Aussage ist etwa die Kontinuumshypothese. Edit: Ich habe nachgelesen und das Frage ist in ZFC tatsächlich beantwortbar. es gibt $\begin{eqnarray} \vert \mathcal P \mathcal P ( \mathbb R ) \vert \end{eqnarray}$ Topologien auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Dies folgt aus der Tatsache, dass es für jede Menge mit unendlicher Kardinalität $\begin{eqnarray} \kappa \end{eqnarray}$ genau $\begin{eqnarray} 2^{2^\kappa} \end{eqnarray}$ Filter gibt. Letzteres wird z.B. in Kapitel 7 von Jechs Buch "Set Theory" beschrieben.
29.04.2012, 17:03	Caspar Spenrath	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo pseudo-nym, danke für die ausführliche Erläuterung. Das ist genau ein Hinweis, wie ich ihn erhofft hatte. Ich werde in dem angegebenen Buch nachlesen und auch deine eigenen Ausführungen nacharbeiten. Zu deiner Befürchtung, dass ich mich verrenne: ich habe diese Frage zwar aus eigenem Interesse gestellt und nicht wegen einer Übungsaufgabe, aber ich arbeite am Thema Mächtigkeiten entlang dem (sehr guten) Buch von Oliver Deiser "Einführung in die Mengenlehre". Die Gefahr, dass ich z. B. versuche, die Kontinuumshypothese zu beweisen oder widerlegen, besteht nicht. Danke nochmals Caspar

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »