Abstand Hyperebene zu Kugel bestimmen

29.04.2012, 16:06

ProVida

Abstand Hyperebene zu Kugel bestimmen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Frage und zwar wie man den Abstand zwischen einer Hyperebene (3 Parameter) zu einer Kugel bestimmen kann.

Die genaue Aufgabe ist im Bildanhang vorhanden.

Meine Ideen:
Mein erstes Problem ist schon mal, dass man das Kreuzprodukt nicht anwenden kann, weil es nur für 3x3 zulässig ist.

Gibt es da einen Trick mit dem Skalarprodukt oder was muss ich machen?

Für Antworten wäre ich dankbar!

29.04.2012, 16:58

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abstand Hyperebene zu Kugel bestimmen
Schreibe $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ als Gleichungssystem mit der Kopfzeile
$\begin{eqnarray*} x_1 ~x_2~ x_3~ x_4~ | ~c~ | r ~s ~t \end{eqnarray*}$ und löse, sodass unter
$\begin{eqnarray*} r ~s ~t \end{eqnarray*}$ steht $\begin{eqnarray*} 0 ~0 ~0 \end{eqnarray*}$ .

Dies ist dann eine HesseForm mit bekannter Abstandsaussage.
Nebenbei steht dann unter den $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ der Normalenvektor.
Rest trivial ...

29.04.2012, 17:49

ProVida

Auf diesen Beitrag antworten »

ah, okay aber was meinst du mit | c | ?

29.04.2012, 17:50

kasume12

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abstand Hyperebene zu Kugel bestimmen
kannst du das vllt genauer erläutern?

29.04.2012, 18:59

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

c ist die Spalte der Constanten.

29.04.2012, 21:00

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Abstand Hyperebene zu Kugel bestimmen
Danke Dopap,

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cccc | c | ccc} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & c & r & s & t \\ \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 6 & 5 &1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 &-10 & 2 &4 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 &2 & -3 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -6 & 0 & 3 & -3\\ \hline \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ ~ & ~ & ~& ~& \vdots & ~& ~& ~\\ n_1 & n_2 & n_3 & n_4 & d & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \end{eqnarray*}$

um alle Missverständisse zu vermeiden. Wink

Die letzte Zeile ist eine sog. HesseForm $\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot\vec{n} = d \end{eqnarray*}$
Mit d für distance, falls $\begin{eqnarray*} \| \vec{n}\|=1 \end{eqnarray*}$ .

29.04.2012, 22:56

ProVida

Auf diesen Beitrag antworten »

Hä, also so ganz habe ich das noch nicht verstanden. Ich habe das in dieser Form in der Mitte mit dem c auch noch nie vorher gesehen. Was heißt denn r s t 0 0 0?

Mach doch mal bitte einen ersten Schritt, damit ich sehe wie ich das machen muss.

30.04.2012, 01:34

ProVida

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kugel ist in diesem System doch gar nicht berücksichtigt worden. Also das bringt mich so nicht weiter....

30.04.2012, 02:03

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wähle eine andere Möglichkeit eine Hyperebene in eine
Hesse-Normal-Form zu wandeln.

Und begreife die geometrische Interpretation des Euklid.Skalarproduktes
$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot\vec{n} = d \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \| \vec{n}\|=1 \end{eqnarray*}$ . - Aber das hatte ich schonmal geschrieben.

Dann kommt die Kugel ins Spiel.

Skizze im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit Gerade und Kreis macht es klar ...

30.04.2012, 02:27

ProVida

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SusiQuad
Dann wähle eine andere Möglichkeit eine Hyperebene in eine
Hesse-Normal-Form zu wandeln.

Ich versteh schon diese nicht...

Zitat:

Und begreife die geometrische Interpretation des Euklid.Skalarproduktes
$\begin{eqnarray*} \vec{x}\cdot\vec{n} = d \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \| \vec{n}\|=1 \end{eqnarray*}$ . - Aber das hatte ich schonmal geschrieben.

Ich möchte die Aufgabe lösen, danke.

Zitat:

Dann kommt die Kugel ins Spiel.

Und "wie"?

Zitat:

Skizze im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit Gerade und Kreis macht es klar ...

Nö, macht es nicht klar...

Also mein Normalenvektor ist dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{24}{29} \\ \frac{-62}{29} \\ \frac{-21}{29} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn das so richtig ist... was folgt dann?

30.04.2012, 02:49

SusiQuad

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig rechnen ergibt $\begin{eqnarray*} ~\vec{n}= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für die HF $\begin{eqnarray*} \vec{x} \cdot \vec{n}~=~ 12 = d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ist noch nicht normiert! - SIEHE Edit unten = Tipp !!

Aber man testen, ob $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ senkrecht auf den RichtungsVekt. steht ...
Dann macht der Tipp mit dem Glg.system doch Sinn, oder ??

Wieso hat Deine Normale nur 3 Komponenten ?

Skizze nicht klar ? - Mach einfach eine Gerade g und zeichne von g den kürzesten Abstand zum Nullpkt. - Dann zeichnest Du einen (kleinen) Kreis K um 0. - Wie kommt man durch den "Abstandsstrich" zum Abstand $\begin{eqnarray*} d(g,K) \end{eqnarray*}$ ??

Edit: Skalarprodukt verstehen ... (falls $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ normiert wäre, dann bedeutet d WAS ???)
weitere Edits: ... nur der Schönheit wegen (Pfeile machen usw.). - nix inhaltliches!!

Neue Frage »

Antworten »

Abstand Hyperebene zu Kugel bestimmen

Verwandte Themen