Integral von Hand berechnen

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öiuaf Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von Hand berechnen
Hallo matheboard-Forum,

bin gerade dabei, mich fürs Abi vorzubereiten, aber ich habe bei der Integralrechnung ein Problem. Und zwar weiß ich nicht wie ich die Integrale ohne Taschenrechner berechnen kann. Ich habe hier eine Übungsaufgabe im Buch:

Berechnen Sie das Integral ohne Verwendung eines GTR oder CAS.

Integral von 0 bis -2 von (x3-3*x) dx

So da dachte ich mir, dass ich das über die Integralfunktion mache und die obere Grenze als x einsetze, also:

I (Index -2) (x) = 1/4 x^4 - 3/2 x^2

In die Funktion wollte ich jetzt die obere Grenze, also 0, einsetzen, aber es ist ja offensichtlich, dass das Ergebnis 0 nicht stimmen kann.

Könnt ihr mir sagen, wo der Fehler liegt?
The_Tower Auf diesen Beitrag antworten »

Es heißt so schön: obere Grenze minus untere Grenze.
Zuerst setzt du die obere Grenze in die Stammfunktion ein und danach die untere. Die beiden Summen werden subtrahiert.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

auch die Integralfunktion muss die untere Grenze berücksichtigen.

S(-2) ist noch abzuziehen, wenn S(x) eine Stammfunktion ist.
öiuaf Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank!

Da das gerade so schön ins Thema passt, habe ich hier noch eine andere Frage:

Gibt es noch einen anderen Unterschied zwischen Stamm- und Integralfunktion als den, dass die Stammfunktion die additive Konstante berücksichtigt?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Integralfunktion ist die Auswertung der Stammfunktion mit einer variablen Grenze.
Somit ist die Frage eigentlich obsolet.

Zumindest im Schulbereich.
öiuaf Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort, aber was meinst du mit Auswertung?
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wenn

dann ist

wenn F'(x)=f(x) gilt
öiuaf Auf diesen Beitrag antworten »

Also hat die Stammfunktion auch keine Grenzen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

F(x) ist eine Stammfunktion. Wieso sollte die Grenzen haben?
(von der Definitionsmenge mal abgesehen)
öiuaf Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bin mir eben nicht sicher Big Laugh . Die Integralfunktion beispielsweise hat doch immer eine Untergranze, die im Index auftaucht, oder lieg ich da falsch?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

da liegst du richtig!
öiuaf Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

also ich habe hier eine Aufgabe, die ich einfach mal abtippe:

Ein Akku hat eine Energiemenge von 50 Wh gespeichert. Die momentane Änderungsrate der gespeicherten Energiemenge lässt sich durch die Funktion f mit beschreiben (t in Stunden, f(t) in Wh pro Stunde). Berechnen Sie den gesamten Energieverlust innerhalb der ersten 24 Stunden.

Meine Frage zu der offensichtlich recht einfachen Aufgabe:

Wie gehe ich ran? Mit der Integralfunktion oder einer Stammfunktion? Geht beides?

Ich denke mal die einfachste Lösung wäre einfach:

(obere Grenze soll 24 sein, ich bekomme das mit der Formel nicht richtig hin^^ )

Und das einfach in den Taschenrechner eingeben.

Aber wenn ich das ganze nun selbst berechnen möchte?
Kann ich da die Integralfunktion

bilden und dann 24 einsetzen? Oder eine Stammfunktion und dann wieder obere Grenze - untere Grenze?

Bin leicht verwirrt wie ihr merkt Big Laugh . Wäre euch für Hilfe sehr dankbar.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von öiuaf



Das wird so berechnet: mit F als irgendeiner Stammfunktion.

Zitat:
Kann ich da die Integralfunktion

bilden und dann 24 einsetzen?


Ja!!! und wie geht das? ::

merkst du was?

Zitat:

Oder eine Stammfunktion und dann wieder obere Grenze - untere Grenze?



Immer: ( irgendeine ) Stammfunktion mit obere Grenze - untere Grenze,
auch dann, wenn die obere Grenze variabel ist.
öiuaf Auf diesen Beitrag antworten »

kay, ich glaube langsam kommt Klahrheit auf Big Laugh .

Aber wofür brauche ich denn dann überhaupt die Integralfunktion, wenn letztlich sowieso alles über die Stammfunktion läuft? Oder besteht die Integralfunktion sozusagen aus der Stammfunktion?

Nochmal von vorne Big Laugh :

Angenommen wir haben die Funktion f mti . Dann ist die Integralfunktion I ab der Stelle 0 gesehn doch:



Und dieser Ausdruck "ausgerechnet" ergibt doch



, was eine Stammfunktion von f(x) ist. Aber wenn das so alles richtig gedacht ist, wo bleibt denn dann die Unterscheidung zwischen Integral- und Stammfunktion (sry, die Frage hab ich schonmal gestellt, aber irgendwie sitzt das noch nicht richtig)? Oder liegt das nur an der Schreibweise?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von öiuaf

Angenommen wir haben die Funktion f mti . Dann ist die Integralfunktion I ab der Stelle 0 gesehn doch:



Und dieser Ausdruck "ausgerechnet" ergibt doch





eher : .

Jede Integralfunktion ist auch eine Stammfunktion. Der Umkehrsatz gilt nicht.
öiuaf Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja richtig, integrieren, nicht ableiten, sry Big Laugh . Okay aber wofür unterscheidet man dann zwischen Integral- und Stammfunktion?

Nebenbei ist folgende Schreibweise richtig?

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von öiuaf
Oh, ja richtig, integrieren, nicht ableiten, sry Big Laugh . Okay aber wofür unterscheidet man dann zwischen Integral- und Stammfunktion?

Nebenbei ist folgende Schreibweise richtig?



ja.

Warum unterscheidet man Erbeereis vom Himbeereis?

Wird ein Integral öfters mit derselben unteren Grenze ausgewertet, dann kann man sich doch vorstellen, da mal eine vorbereitete Funktion aufzustellen, die dann auf Wunsch sofort zu Verfügung steht smile
Eine Stammfunktion ist sozusagen der Urbaustein für alles weitere.
öiuaf Auf diesen Beitrag antworten »

Aber für die Lösung einer Aufgabe ist es unerheblich ob ich mit der Stammfunktion direkt rechne oder erst über die Integralfunktion gehe? Also ich meine damit, ob das vielleicht formal falsch ist^^.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

du kannst nicht über die Integralfunktion gehen ohne vorher eine Stammfunktion bestimmt zu haben.
Wie gesagt Baustein...
öiuaf Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso? Ich dachte die Integralfunktion ist nur definiert als



Oder meinst du mit dem Baustein, dass ich danach, wenn ich diesen Rechenschritt per Hand mache:



unbedingt eine Stammfunktion brauche?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Definition allein ist schön. Aber du brauchst eine Stammfunktion:

Erst haucht dem Ganzen praktikables Leben ein.

Ein Beispiel wo es nicht geht:

es gibt in der Fehlerrechnung und in der Wkt_Rechnung eine Funktion die ungefähr so geht:



dazu gibt es leider keine analytisch angebbare Stammfunktion.
Der Weg über Stammfunktionen ist verbaut.
Hier macht die Definition als solche wirklich Sinn.
öiuaf Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, und was meinst du damit, dass die Definition als solche Sinn macht?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Jede Integralfunktion ist auch eine Stammfunktion.

Das stimmt leider auch nicht in dieser Allgemeinheit - man nehme nur als Beispiel die Verteilungsfunktion der stetigen [0,1]-Verteilung, die ist an den Stellen 0 und 1 nicht differenzierbar, also auch keine Stammfunktion der Dichte, zumindest nicht auf dem ganzen Definitionsbereich. unglücklich

Etwas abgeändert zu

Jede Integralfunktion einer stetigen Integrandenfunktion ist auch eine Stammfunktion.

stimmt es allerdings.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wie schon mal gesagt: im Schulbereich kann man nicht alles relativieren.
öiuaf Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich bins nochmal!

Ich weiß, dass die Frage schon 1-2 zwei mal beantwortet wurde und ich möchte euch wirklich nicht auf die Nerven gehen, aber mir ist immer noch nicht der Unterschied zwischen der Integral- und der Stammfunktion 100%-ig klar und ich möchte das fürs Abi doch ganz gern gewusst haben, weil ich ungern was hinschreibe, was ich selbst nicht richtig verstanden habe.

Ich weiß, dass der Satz gilt, dass jede Integralfunktion auch eine Stammfunktion ist, es anders herum aber nicht geht. Hier meine erste Frage: Warum?

So dann ist mir klar, dass eine Stammfunktion immer eine additive Konstante c mit berücksichtigt, die beim Bestimmen eines bestimmten Integrals aber wegfällt, wenn ich das richtig sehe, denn es gilt ja:



Was ich gerade noch gelesen habe ist, dass jede Integralfunktion eine Nullstelle hat, nämlich wenn die variable obere Grenze gleich der festen unteren Grenze ist. Das muss für eine Stammfunktion ja nicht unbedingt gelten.

Aber wofür brauche ich denn nun was? Das verstehe ich einfach nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
wie schon mal gesagt: im Schulbereich kann man nicht alles relativieren.

Darf ich das so verstehen, dass du dich gegen die Präzisierung deiner Behauptung aussprichst und lieber die falsche Variante stehen lassen willst? Trotz eines Gegenbeispieles, was durchaus nicht exotisch ist, sondern sogar im Schulstochastikunterricht drankommt? unglücklich
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