escape from prison

29.04.2012, 20:34

Dopap

escape from prison

ich möchte einem Schüler zeigen, dass man aus den Innern eines 3 - dimensionalen Körpers = Gefängnis auf "einfache" Weise in der 4-ten Dimension entkommen kann, selbstredend ohne die Wände zu "berühren"

Frage: wie kann man das mit möglichst wenig Schreibaufwand zeigen? Zudem noch etwas melodromatisch? Geht das mit einer Kugel?

Meine Ideen: o.b.d.A zeigen, dass eine Gerade, die die Seitenwand eigentlich schneiden müsste, keinen Schnittpunkt hat.

29.04.2012, 21:30

weisbrot

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RE: escape from prison
wenn es rein um die veranschaulichung geht, dann könnte man versuchen das erstmal an niedrigeren dimensionen (wo mans sich noch gut vorstellen kann) klar zu machen, und dann zu höheren übergehen.
ich bin nicht sicher ob ich richtig verstehe wie du das mit der geraden meinst - du meinst das als lösung für dein gefängnis-beispiel? wenn du dazu eine gerade nimmst kommst du ja nachdem du in höhere dimensionen gehst nicht mehr in die ursprünglichen zurück (also außerhalb des gefängnisses - wenn das denn gewollt ist).
hoffe hab das richtig verstanden.
lg

29.04.2012, 21:37

SusiQuad

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RE: escape from prison
Bsp. aus $\begin{eqnarray*} K \subset \mathbb R^2 \times \{0\} \end{eqnarray*}$ mit Fluglinie im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ...

Gefängnis $\begin{eqnarray*} K \colon (x+1)^2 +y^2 \leq 1~,~z=0 \end{eqnarray*}$ für eine Ameise.
Vogel fliegt über $\begin{eqnarray*} x^2+z^2 =1~,~y=0 \end{eqnarray*}$ von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \not\in K \end{eqnarray*}$

Spendiere 1 Dim mehr ... Wink

Edit:
2 Bierdeckel kommen gut dabei ...
Einer ist das liegende Gefängnis.
Den anderen mittig durchbrechen und den Rand als Flugbahn benutzen.

29.04.2012, 22:02

Dopap

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gelegentlich stell ich auch mal ne Frage ...
Auch um zu testen wie es sich so als Schüler anfühlt...

Und ich fühle mich schlecht.

Die Antwort ist wohl so gemeint, dass ich, nach boardprinzip, ein wenig extrapolieren soll.
Nun gut:
Also aus einer 3-D Kugel $\begin{eqnarray*} (x+1)^2+y^2 +z^2=1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M(-1|0|0|0) \end{eqnarray*}$ aus dem Mittelpunkt heraus nach z.B. $\begin{eqnarray*} (5|0|0|0) \end{eqnarray*}$ ohne Schnittpunkt zu entkommen?

29.04.2012, 22:17

weisbrot

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also von mir aus so: zuerst gerade von $\begin{eqnarray*} (-1,0,0,0) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (-1,0,0,1) \end{eqnarray*}$ - kein schnittpunkt. dann von dort in gerader linie nach $\begin{eqnarray*} (5,0,0,1) \end{eqnarray*}$ - kein SP. und dann zurück in die 3 dimensionen nach $\begin{eqnarray*} (5,0,0,0) \end{eqnarray*}$ - kein SP. lg

29.04.2012, 22:25

SusiQuad

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Nein, damit es anschaulich bleibt , lieber Dopap.

Nimm als Kugel K bzw. Gefängnis $\begin{eqnarray*} K \colon (x+1)^2 +y^2 + z^2 {\color{red}\leq} 1~,~ t=0 \end{eqnarray*}$ (sonst bist Du für =1 in der Mauer gefangen) dh. die Ameise hat keine Zeitachse. Für $\begin{eqnarray*} t > 0 \end{eqnarray*}$ sieht ein Vogel jedoch die Mauer nicht mehr, auf dieser "Ebene" kann er beliebig wegfliegen.

Eine Mauer über der 3D-Kugel wäre ein 4D-Zylinder $\begin{eqnarray*} Z \colon (x+1)^2 +y^2 + z^2 \leq 1~,~ t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Da käme der Vogel nicht drüber.

Runder Flugweg von $\begin{eqnarray*} (-1,0,0,0)^T \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (5,0,0,0)^T \end{eqnarray*}$
wäre $\begin{eqnarray*} (x-2)^2 + t^2 = 3^2~,~ y=z=0 \end{eqnarray*}$ . - Ich habe als MittelPkt. das arithm. Mittel der Endpunkte genommen und als Radius die Hälfte des Abstandes.

Weisbrot hat die HubschrauberVariante gewählt... Hoch + gerade über die Mauer + Absturz.

29.04.2012, 22:37

Dopap

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@susi: etwas phylosophisch. Und warum sollte die 4.te Koordinate "t" genannt, die Zeit sein?

unter Weg versteh ich :

$\begin{eqnarray*} \vec x = \lambda \cdot (-1,0,0,0)^T \end{eqnarray*}$

warum hat das mit der Kugelhülle keinen Schnittpunkt?

29.04.2012, 23:03

Dopap

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o.k. du hast nacheditiert. Das macht alles nicht einfacher.

Ob Hubschrauber oder Kurvenflug, ob Zylinder oder sonstwas,

Where's the beef?

So kann ich das nicht vortragen, da blick ich selbst nicht durch unglücklich

Zurück zur Frage: möglichst einfache und schreibfigurenarme Lösung.

29.04.2012, 23:12

SusiQuad

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In 4 Dim. macht Raum-Zeit $\begin{eqnarray*} (x,y,z,t)^T \end{eqnarray*}$ Sinn wg. Anschaulichkeit.

Dein $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ bleibt bei $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ stehen. Es ist das "Intervall" $\begin{eqnarray*} [-1,5] \times \{0\}^3 \end{eqnarray*}$ ,bestenfalls und hat einen Schnittpunkt mit K. Meine Fluchtwege implizieren $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ während des Fluges $\begin{eqnarray*} x > -1 \end{eqnarray*}$ und wir haben $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ (= Start) und $\begin{eqnarray*} x=5 \end{eqnarray*}$ (= Landung).

Beachte: Alle Fluchtwege mit $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ bleiben innerhalb K.

Unter einem Weg im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ verstehe ich irgendeine (stetige) Funktion $\begin{eqnarray*} \gamma \colon \mathbb R \supset \mathbb D \to \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A,B \in Bild(\gamma) \end{eqnarray*}$ . -*hust* ... könnte man dran feilen ...

29.04.2012, 23:33

SusiQuad

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Vorstellbar ist die Situation im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist dann ein 1-dim-abgeschl.Intervall $\begin{eqnarray*} J = [-2,0] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A(-1,0) \in J \end{eqnarray*}$ als Mittel- und Startpunkt der Flucht. Um nach $\begin{eqnarray*} B(5,0) \end{eqnarray*}$ zu kommen, brauchst Du zwingend die 2-te Dim. - In meinen Bsp. ein Kreisrand mit Radius $\begin{eqnarray*} r=3 \end{eqnarray*}$ und Mittelpkt $\begin{eqnarray*} M(2,0) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (x-2)^2 + (t-0)^2 = 3^2 \end{eqnarray*}$

Nächste Dim ...
Vorstellbar ist die Situation im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

[attach]24235[/attach]

Bierdeckel aufm Tisch ist K = 2-dim Kreis $\begin{eqnarray*} (x,y)^T \times 0 \end{eqnarray*}$ .
Nichtfliegende Ameise rennt immer gegen die Mauer / Rand $\begin{eqnarray*} \partial K \end{eqnarray*}$ .
Entkommen nur mit $\begin{eqnarray*} t > 0 \end{eqnarray*}$ . Also 3-te Dim. notwendig.

Für Implem. in höheren Dims. wählt man die Fluchtwege einfach $\begin{eqnarray*} y=z=0 \end{eqnarray*}$ ,um mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ beweglich zu bleiben.

Zusatz:
Ich mach Dir dat auch für Kreis um 0, warte ab ...

29.04.2012, 23:40

Dopap

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ja richtig,der Fluchtweg von mir, das war Quark.

darf ich mal eine Kugeloberfläche um den Ursprung mit Radius 1 als Gefängnis annehmen.

K: $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2 +0t^2=1 \end{eqnarray*}$

Fluchtweg: $\begin{eqnarray*} \vec x = \lambda\cdot (a,b,c,d)^T \end{eqnarray*}$

und jetzt?

30.04.2012, 01:01

SusiQuad

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Zitat:

Original von Dopap
K: $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2 +0t^2=1 \end{eqnarray*}$

(Erstens) -Dein K ist nicht brauchbar für eine Flucht !!! - Es ist der og. (ausbruchssichere) Zylinder,
beachte: $\begin{eqnarray*} (1,0,0,0)^T , (1,0,0,4711)^T \in K \end{eqnarray*}$ .

Wir nehmen mein $\begin{eqnarray*} K\colon x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 ~,~ t=0 \end{eqnarray*}$
(Zweitens) - Ich hatte die Mauer $\begin{eqnarray*} =1 \end{eqnarray*}$ angesprochen. Wir sitzen nicht in der Mauer, sondern starten im Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} A(0,0,0,0) \end{eqnarray*}$ , ja ??

Soll $\begin{eqnarray*} B(5,0,0,0) \end{eqnarray*}$ Dein Fluchtziel bleiben ?

Dann basteln wir uns einen Luftweg $\begin{eqnarray*} t \geq 0 \end{eqnarray*}$ entlang der $\begin{eqnarray*} x-Achse \end{eqnarray*}$ , d.h. wir fliegen der Einfachheit halber "oberhalb" der x-Achse ohne Umweg dh. $\begin{eqnarray*} y=z=0 \end{eqnarray*}$ ...

Flucht(weg) $\begin{eqnarray*} \gamma\colon (x-\frac{5}{2})^2 + t^2 = \left( \frac{5}{2}\right)^2 ~\text{und}~y=z=0 \end{eqnarray*}$

Beachte: $\begin{eqnarray*} A,B \in \gamma \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht gefällt Dir mein $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ nicht ...

Nehme $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ 0 \\ 0 \\ \pm\sqrt {\left( \frac{5}{2}\right)^2 - \left(x- \frac{5}{2}\right)^2} \end{pmatrix} \\ \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in [0,5] \end{eqnarray*}$

30.04.2012, 11:49

Dopap

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besten Dank, speziell an SusiQuad, ich glaub' ich habe es verstanden, auch wegen der super Zeichnung Freude

Die Alte Regel: mach dir erst mal ein Bild der Situation, hat sich bewahrheitet.
Wenn man selbst auf dem Schlauch steht, produziert man bei der Eigenleistung auch jede Menge Müll.
Es ist wirklich nicht so einfach, die eigene Vorstellung aufzugeben und die der Anderen zu übernehmen.

Fazit: 'werde zukünftig verstärkt auf die wahren oder vermeintlichen Hänger der Fragessteller eingehen!

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