Erwartungstreuer Schätzer für Erwartungswert

30.04.2012, 11:41

MatheMathosi

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Erwartungstreuer Schätzer für Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo !

Angenommen in einem Sportladen gibt es 10 Verschiedene Bälle mit verschiedenen Durchmessern.

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{vmatrix} Anzahl \ der \ Baelle & 5 & 3 & 2 \\ Durchmesser & 20 & 18 & 21 \end{vmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Die Werte seien Normalverteilt.
Nun möchte ich einen Erwartungstreuen Schätzwert für Varianz und Erwartungswert angeben.

Meine Ideen:
Ich stehe gerade auf dem Schlauch wie ich das hier angehe !?!

Was ich weiss ist:

Erwartungswert ist $\begin{eqnarray*} E(X)= \frac{5\cdot 20+3\cdot 18+2\cdot 21}{10}= 19,6 \end{eqnarray*}$

Die Varianz ist $\begin{eqnarray*} V(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}=\frac{5\cdot 20^{2}+3\cdot 18^{2}+2\cdot 21^{2}}{10}-19,6^{2}=1,24 \end{eqnarray*}$

Eine normalverteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} N(\mu,\sigma^{2}) \end{eqnarray*}$ hat Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X)=\mu \end{eqnarray*}$ und Varianz $\begin{eqnarray*} V(X)=\sigma^{2} \end{eqnarray*}$

Für einen Erwartungstreuen Schätzer $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ muss gelten $\begin{eqnarray*} E(\vartheta)=\vartheta \end{eqnarray*}$

Wie ermittle ich denn nun den erwartungstreuen Schätzer ???

Danke für eure Hilfe !

30.04.2012, 19:23

Cel

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Moin!

Bin zwar kein Statistiker, aber das krieg ich noch hin, denk ich. smile

smile

Die Bälle kommen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit, wie du ja auch schreibst. Du hast also quasi 10 Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_1, \dots, X_{10} \end{eqnarray*}$ für die 10 Bälle, uiv. Wie lautet die Formel für deinen Schätzer für den Erwartungswert?

$\begin{eqnarray*} \hat{\mu} = \bar{X}_{10} = \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{10} \cdot X_i \end{eqnarray*}$

Klar? Genau hast du auch gemacht, du hast den Erwartungswert mit dem arithemtischen Mittel geschätzt.

Berechne nun $\begin{eqnarray*} E(\hat{\mu}) \end{eqnarray*}$ .

30.04.2012, 19:56

MatheMathosi

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Wie meinst du die Formel ?

Was ist denn dein $\begin{eqnarray*} \overline{X}_{10} \end{eqnarray*}$ ?
Ich würde das jetzt so machen:

$\begin{eqnarray*} <br /> E(\overline{\mu})=E(\sum\limits_{i=1}^{10}\frac{1}{10}X_{i})\overset{u.i.v.}{=}\frac{1}{10}\cdot 10 \cdot E(X_{1})=\mu<br /> \end{eqnarray*}$
Also ist der Schätzer erwartungstreu, Also das arithmetische Mittel oder was ?

30.04.2012, 20:09

Cel

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$\begin{eqnarray*} \overline{X}_{10} \end{eqnarray*}$ bezeichnet das arithemtische Mittel. Das ist eine übliche Bezeichnung dafür.

Und genau, das arithemtische Mittel ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ .

Diese Summe bezeichnet genau das, was du gemacht hast: Alle Durchmesser addieren und durch die Anzahl der Bälle teilen. smile

smile

30.04.2012, 20:26

MatheMathosi

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Ok. Also jetzt nochmal zusammenfassend:

Ich habe also Zufallsvariablen X1,...,X10. Mit jeweiligen Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ , da Normalverteilt.

Meine Annahme wäre jetzt das der Schätzer

$\begin{eqnarray*} \vartheta =:\frac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}X_{i} \end{eqnarray*}$ ist.

Wie ich dann oben überprüft habe stimmt der Erwartungswert des Schätzers mit dem tatsächlichen Erwartungswert überein und ist daher ein erwartungstreuer Schätzer.
Ist das so korrekt aufgeschrieben oder fehlt da noch was? (irgendwie sinnlose Aufgabe verwirrt

verwirrt

)

Wie sieht das jetzt bei der Varianz aus ?

30.04.2012, 21:51

MatheMathosi

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Was ist hier dann eigentlich mein Schätzwert ?

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01.05.2012, 10:54

MatheMathosi

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So nochmal :

Für den Erwartungswert ist ein erwartungstreuer Schätzer
$\begin{eqnarray*} <br /> \hat \vartheta_{10}:=\frac{1}{10}\sum\limits_{i=1}^{10}X_{i}<br /> \end{eqnarray*}$

Der Schätzwert ist also

$\begin{eqnarray*} <br /> \hat \vartheta_{10}=\frac{5\cdot 20 + 3\cdot 18+ 2 \cdot 21}{10}=19,6<br /> \end{eqnarray*}$

Richtig so ?

Für die Varianz ist ein erwartungstreuer Schätzer
$\begin{eqnarray*} <br /> \vartheta_{10}:=\frac{1}{\sqrt{10}}\sum\limits_{i=1}^{10}X_{i}<br /> \end{eqnarray*}$
und der Schätzwert ist

$\begin{eqnarray*} <br /> \vartheta_{10}=\frac{5\cdot 20 + 3\cdot 18+ 2 \cdot 21}{\sqrt{10}}=61,98<br /> \end{eqnarray*}$

Ist das so ok ?
Kann da bitte nochmal jmd. darüber schauen ?

01.05.2012, 11:11

Gast11022013

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Hallo, MatheMatosi,

für den Erwartungswert nimmt man als Schätzer i.d.R. das arithmetische Mittel $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ , korrekt.

Für die Varianz nimmt man, wenn der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ bekannt ist, i.d.R. den folgenden Schätzer:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2 \end{eqnarray*}$

Wenn der Erwartungswert nicht bekannt ist, verwendet man meist folgenden Schätzer:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 \end{eqnarray*}$

(Daß im Nenner $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ steht, hat damit zu tun, daß der Schätzer nicht erwartungstreu ist, wenn im Nenner nur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ stünde.)

Noch ein kleiner Tipp:

Man kann obigen Schätzer der Varianz bei unbekanntem Erwartungswert viel leichter so berechnen, wenn man bedenkt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-a)^2-n(\overline{X}-a)^2, a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

01.05.2012, 12:48

MatheMathosi

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Ok

verwirrt

Jetzt bin ich ein wenig verwirrt.
Die Aufgabe lautet ja einen Schätzwert anzugeben. Was heisst denn in der Regel nimmt man den Schätzer... ???

Es gibt doch verschiedene Schätzer oder.

Wenn ich mir jetzt meinen Schätzer für die Varianz ansehe gilt ja

$\begin{eqnarray*} <br /> V\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i} \right)=\frac{1}{\sqrt{n}^{2}}V\left(\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}\right) =(u.i.v.)\frac{1}{n}\cdot n V(X_{1})=\sigma^{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Also ist dieser doch auch erwartungstreu oder nicht ?

Was ist dann mein Schätzwert ?
Etwa
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{\sqrt{10}}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}=61,98<br /> \end{eqnarray*}$

Erwartungswert und Varianz sind ja wegen der normalverteiltheit bekannt.

01.05.2012, 19:45

Gast11022013

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Der von Dir gewählte Schätzer ist erwartungstreu.

Es kann aber sein, daß er im Vergleich zu dem von mir vorgeschlagenen Schätzer weniger andere gute Eigenschaften hat.

Hast Du das mal ausgetestet? Ist er z.B. konsistent?

In der Regel nimmt man den von mir vorgeschlagenen Schätzer, weil er viele gute Eigenschaften hat.

02.05.2012, 08:02

MatheMathosi

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Nein habe ich nicht überprüft.
Spielt für mich hier auch keine Rolle, aber danke für den Hinweis smile

smile

.

Kannst du bitte auf meine Frage eingehen ! Ich verstehe immer noch nicht was denn nun der Schätzwert ist.

Ist das einfach nur mein Schätzer mit den Daten ? Also 61,98.
Ich stelle diese Frage jetzt schon zum dritten mal Klo

Klo

. Das macht das ganze zu einer ziemlich langen Sitzung, wenn du verstehst was ich meine.

02.05.2012, 08:49

Huggy

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@MatheMathosi
Wie kommst du denn auf die abstruse Idee,

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i} \end{eqnarray*}$

sei ein erwartungstreuer Schätzer für $\begin{eqnarray*} V(X) \end{eqnarray*}$ ? Das ist grottenfalsch!

@Dennis 2010
Weshalb bestätigst du diesen Unfug. Du hast doch vorher eien korrekten erwartungstreuen Schätzer genannt!

02.05.2012, 09:08

MatheMathosi

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@Huggy

naja sieh dir meine obige Rechnung an.
Sieht meine Beiträge überhaupt jmd. verwirrt

verwirrt

Weil irgendwie geht keiner darauf ein Hammer

Hammer

Was ist denn daran falsch erklärs mir, oder soll ich jetzt einen erraten Ansage

Ansage

.

02.05.2012, 09:22

Huggy

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Sei $\begin{eqnarray*} \hat V \end{eqnarray*}$ ein Schätzer für $\begin{eqnarray*} V(X) \end{eqnarray*}$ . Dieser ist erwartungstreu, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} (*) \quad E(\hat V)=V(X) \end{eqnarray*}$

Du hast als Schätzer gewählt:

$\begin{eqnarray*} \hat V=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i} \end{eqnarray*}$

Und du hast gezeigt:

$\begin{eqnarray*} V(\hat V)=V(X) \end{eqnarray*}$

Das ist aber nicht das, was du zeigen musst. Du musst (*) zeigen.

02.05.2012, 10:59

Gast11022013

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Ich hatte da wirklich Tomaten auf den Augen bzw. war wohl irgendwie nicht bei Sinnen, entschuldige. Natürlich ist der vorgeschlagene Schätzer nicht erwartungstreu, wie Huggy begründet hat.

Hammer

Hammer

Sorry!

Der Schätzwert ist halt der Wert den Du bekommst, wenn Du die Daten in den Schätzer eingibst.

02.05.2012, 11:20

Huggy

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Zitat:

Original von Dennis2010
Ich hatte da wirklich Tomaten auf den Augen bzw. war wohl irgendwie nicht bei Sinnen, entschuldige. Natürlich ist der vorgeschlagene Schätzer nicht erwartungstreu, wie Huggy begründet hat.

Der vorgeschlagene Schätzer ist nicht nur nicht erwartungstreu. Es ist überhaupt kein sinnvoller Schätzer für die Varianz. Der vorgeschlagene Schätzer könnte unter Umständen negativ werden, wenn einige $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ negativ sind, während die Varianz immer nicht negativ ist.

02.05.2012, 18:10

MatheMathosi

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@Huggy

Danke für die kurze und informative Auskunft Freude

Freude

@Dennis2010

Mein Schätzwert für den Erwartungswert stimmt also ?

Muss ich bei dem Schätzer für die Varianz davon ausgehen, dass der Erwartungswert bekannt ist oder nicht ?
Es liegt ja eine normalverteilung der Daten vor somit ist der Erwartungswert doch bekannt oder etwa nicht ?

Mein Ansatz wäre hier weiter

$\begin{eqnarray*} <br /> E\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}\right)=\frac{1}{n}E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}(X_{i}-\mu)^{2}\right)=\frac{1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}E\left((X_{i}-\mu)^{2}\right)\right)=\frac{1}{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}V(X_{i})\right)=V(X_{1})<br /> \end{eqnarray*}$

Wie sieht das dann für den Schätzwert aus gilt
$\begin{eqnarray*} \mu=E(X)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i} \end{eqnarray*}$ ?

02.05.2012, 19:37

Huggy

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Du solltest mal von der Bezeichnung zwischen $\begin{eqnarray*} \mu = E(X), \quad V(X) \end{eqnarray*}$ und deren Schätzern unterscheiden. Das sorgt auch in deinem Kopf für mehr Klarheit. Cel hatte den Schätzer für E(X) $\begin{eqnarray*} \hat \mu \end{eqnarray*}$ genannt. Ich hatten den Schätzer für V(X) $\begin{eqnarray*} \hat V \end{eqnarray*}$ genannt. Du kannst natürlich gerne andere Bezeichnungen wählen.

Der Schätzer für E(X) war

$\begin{eqnarray*} \hat \mu = \frac {1}{n}\sum_i E(X_i) \end{eqnarray*}$

Und dafür hast du die Erwartungstreue doch schon gezeigt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <br /> E(\overline{\mu})=E(\sum\limits_{i=1}^{10}\frac{1}{10}X_{i})\overset{u.i.v.}{=}\frac{1}{10}\cdot 10 \cdot E(X_{1})=\mu<br /> \end{eqnarray*}$
Also ist der Schätzer erwartungstreu

Deshalb verstehe ich deine erneute Frage nicht.

In der Aufgabe ist kein Wert füt $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ genannt und $\begin{eqnarray*} \hat \mu \end{eqnarray*}$ ist lediglich der Schätzer dafür. Also kennst du $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ nicht und kannst es bei dem Schätzer für V(X) auch nicht als bekannt voraussetzen.

03.05.2012, 21:26

MatheMathosi

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Ok also nehme ich als Schätzer

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ das arithmetische mittel ist, also mein erwartungstreuer Schätzer $\begin{eqnarray*} \hat \mu \end{eqnarray*}$ oder nicht ?

Mir stellt sich hier nur die Frage warum in der Aufgabenstellung von einer Normalverteiltheit der Daten gesprochen wird, wenn das für meine Schätzer keine Rolle spielt ?

Mein Ansatz wäre nun

$\begin{eqnarray*} \hat V:=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E\left(\hat V\right):=E\left(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Man kann obigen Schätzer der Varianz bei unbekanntem Erwartungswert viel leichter so berechnen, wenn man bedenkt: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-a)^2-n(\overline{X}-a)^2, a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Also ist weiter
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\right)=\frac{1}{n-1}E\left(\sum_{i=1}^{n}(X_i-a)^2-n(\overline{X}-a)^2\right) \end{eqnarray*}$

Warum mir das hier die Sache erleichtert ist mir allerdings schleierhaft verwirrt

verwirrt

Wie komme ich denn so auf die Varianz ?

04.05.2012, 09:18

Huggy

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Zitat:

Original von MatheMathosi
Ok also nehme ich als Schätzer

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ das arithmetische mittel ist, also mein erwartungstreuer Schätzer $\begin{eqnarray*} \hat \mu \end{eqnarray*}$ oder nicht ?

Ja.

Zitat:

Mir stellt sich hier nur die Frage warum in der Aufgabenstellung von einer Normalverteiltheit der Daten gesprochen wird, wenn das für meine Schätzer keine Rolle spielt ?

Das habe ich mich auch gefragt. Zumal es mehr als ungewöhnlich wäre, wenn man aus einer Normalverteilung obige Stichprobe erhielte. Für die Schätzer von E(X) und V(X) spielt die Verteilung keine Rolle. In der Normalverteilung tauchen lediglich E(X) und V(X) auch als Parameter der Verteilung auf.

Zitat:

Mein Ansatz wäre nun

$\begin{eqnarray*} \hat V:=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2 \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Zitat:

Man kann obigen Schätzer der Varianz bei unbekanntem Erwartungswert viel leichter so berechnen, wenn man bedenkt: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2=\sum_{i=1}^{n}(X_i-a)^2-n(\overline{X}-a)^2, a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

....
Warum mir das hier die Sache erleichtert ist mir allerdings schleierhaft verwirrt

verwirrt

Wie komme ich denn so auf die Varianz ?

Das zu erläutern überlasse ich Dennis2010. Es spricht aber nichts dagegen, die Sache direkt anzugehen.

$\begin{eqnarray*} \hat V:=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i^2-2X_i \overline X+\overline{X}^2) \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} E(\hat V) =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(E(X_i^2)-2E(X_i \overline X)+E(\overline{X}^2)) \end{eqnarray*}$

Jetzt nimmt man sich am besten, damit die Ausdrücke nicht zu lange werden, die Erwartungswerte in der Summe einzeln vor und fügt erst zum Schluss wieder alles zusammen. Für die durch $\begin{eqnarray*} \overline X \end{eqnarray*}$ entstehenden Summen ist lediglich zu beachten:

$\begin{eqnarray*} E(XY)=E(X)E(Y) \end{eqnarray*}$ falls X und Y unabhängig sind.

Und wenn X und Y zusätzlich gleich verteilt sind, hat man

$\begin{eqnarray*} E(XY)=E(X)E(Y)=(E(X))^2 \end{eqnarray*}$

Das darf man nicht verwechseln mit

$\begin{eqnarray*} E(XX)=E(X^2) \end{eqnarray*}$

Ich verwende für $\begin{eqnarray*} (E(X))^2 \end{eqnarray*}$ gern die Schreibweise $\begin{eqnarray*} E^2(X) \end{eqnarray*}$ , die ich in Büchern allerdings noch nicht gesehen habe.

06.05.2012, 16:15

MatheMathosi

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier komme ich immer noch nicht ganz weiter:
ich weiss ja, dass $\begin{eqnarray*} \overline{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i} \end{eqnarray*}$ ist. Also ist
$\begin{eqnarray*} E(\hat V) =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(E(X_i^2)-2E\left(X_i \overline X\right)+E(\overline{X}^2)\right)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(E(X_i^2)-2E\left(X_i \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}\right)+E\left(\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}\right)\right)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(E(X_i^2)-\frac{2}{n}E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\right)+\frac{1}{n^{2}}E\left(\left(\sum\limits_{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}\right)\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Aber so komme ich doch nicht weiter. Ich sehe überhaupt nicht wie ich hier wieder auf meinen Schätzer kommen soll verwirrt

verwirrt

Kannst du mir noch einen Tipp geben ?
Ich könnte aus

$\begin{eqnarray*} E(X_{i}^{2})=E(X)\cdot E(X)=E^{2}(X) \end{eqnarray*}$

machen aber das hilft mir auch nicht

06.05.2012, 20:33

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Indizes sauber auseinanderhalten. Ich mache mal ein paar Schritte bei dem mittleren Term:

$\begin{eqnarray*} 2E(X_i \frac {1}{n}\sum_j X_j)=\frac {2}{n}E(\sum_jX_iX_j)=\frac {2}{n}\sum_jE(X_iX_j)=\frac{2}{n} \left ( E(X_iX_i)+\sum_{j \neq i}E(X_iX_j)\right ) \end{eqnarray*}$

Jetzt solltest du den Rest hinbekommen!

06.05.2012, 21:35

MatheMathosi

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$\begin{eqnarray*} E(\hat V) =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(E(X_i^2)-2E\left(X_i \overline X\right)+E(\overline{X}^2)\right)=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(E(X_i^2)- \frac{2}{n} \left ( E(X_iX_i)+\sum_{j \neq i}E(X_iX_j)\right )+\frac{1}{n^{2}}\left(\sum\limits_{i=1}^{n}E(X_{i}^{2})+2\sum\limits_{i\neq j}E(X_{i}X_{j})\right)\right) \end{eqnarray*}$

Ich checks immer noch nicht. Jetzt hab ich dieses dämliche n^{2} im Nenner stehen. Wie soll ich denn das jetzt weiter vereinfachen ?

Ich muss am Ende ja hinter der ersten Summe

$\begin{eqnarray*} E(X_{i}^{2})-(E(X_{i}))^{2}=V(X_{i}) \end{eqnarray*}$

stehen haben, aber weiss nicht wie ich darauf komme.

07.05.2012, 09:11

Huggy

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Du strapazierst meine Leidensfähigkeit wirklich gewaltig. Wir sind doch in Hochschulmathematik und nicht im Kindergarten.

Alle $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ haben die gleiche Verteilung wie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und sind unabhängig voneinander. Du kannst also überall setzen:

$\begin{eqnarray*} E(X_iX_i)=E(X^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(X_iX_j)=(E(X))^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$

Wenn über einen solchen Term summiert wird, musst du halt zählen, wie viele Summanden die Summe hat. Bei der Kurzschreibweise

$\begin{eqnarray*} \sum_{i \neq j} \end{eqnarray*}$

musst du beachten, dass sie im mittleren Term und im letzten Term eine unterschiedliche Bedeutung hat. Im mttleren Term wird nur über j summiert. i ist fest. Die Summation über i erfolgt erst in der äußeren Summe. Im letzen Term wird über i und j summiert. Ausführlich geschrieben ist das eine Doppelsumme. Da aber der Index i schon in der äußeren Summe steht, sollte man hier die Indizes der inneren Summen besser j und k nennen. Der Faktor 2 vor dem letzten Term ist falsch. Wie kommst auf den?

Statt dauernd zu lamentieren, ich sehe nicht, wie ich auf das Endergebnis komme, solltest du dich besser mit den Termen beschäftigen.

14.05.2012, 09:07

MatheMathosi

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Also nochmal :

$\begin{eqnarray*} <br /> [latex]E(\hat V) =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(E(X_i^2)-2E\left(X_i \overline X\right)+E(\overline{X}^2)\right) \end{eqnarray*}$

14.05.2012, 10:25

MatheMathosi

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Aber jetzt :

$\begin{eqnarray*} <br /> E(\hat V) =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(E(X_i^2)-2E\left(X_i \overline X\right)+E(\overline{X}^2)\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Ich betrachte mal die Terme einzeln (ohne den Bruch vorne dran):

1.Term wegen u.i.v. gilt : $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}E(X_i^2)=n \cdot E(X^{2}) \end{eqnarray*}$

2. Term:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2E(X_i \frac {1}{n}\sum_j X_j)=\frac {2}{n}E(\sum_jX_iX_j)=\frac {2}{n}\sum_jE(X_iX_j)=\frac{2}{n} \left ( E(X_iX_i)+\sum_{j \neq i}E(X_iX_j)\right ) \end{eqnarray*}$

nun noch über i summieren:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{2}{n} \left ( E(X_iX_i)+\sum_{j \neq i}E(X_iX_j)\right )=\frac{2}{n}\left (n\cdot E(X^{2})+\sum\limits_{i=1}^{n}\sum_{j \neq i}E(X_{i}X_{j})\right) \end{eqnarray*}$

nun muss ich ja noch n-1 mal über j summieren, da der Summand, wo i=j ist ja schon vor der Summe ist.Und dann noch n-mal über i somit:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{n}\left (n\cdot E(X^{2})+\sum\limits_{i=1}^{n}\sum_{j \neq i}E(X_{i}X_{j})\right)=\frac{2}{n}\left (n\cdot E(X^{2})+n\cdot (n-1)(E(X))^{2}\right) \end{eqnarray*}$

3.Term:
$\begin{eqnarray*} E(\overline{X}^{2})=E\left(\frac{1}{n^{2}}\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{k=1}^{n}X_{j}X_{k}\right) = \frac{1}{n}\cdot E(X^{2})+\frac{1}{n} \cdot(n-1)(E(X))^{2} \end{eqnarray*}$

Nun noch n-nal summieren ergibt $\begin{eqnarray*} E(X^{2})+(n-1)(E(X))^{2} \end{eqnarray*}$

Insgesamt also

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{n-1}\left(n\cdot E(X^{2})-2E(X^{2})-2(n-1)(E(X))^{2}+E(X^{2})+(n-1)(E(X))^{2}\right)=\frac{1}{n-1}\left((n-1)(E(X^{2})-(E(X))^{2})\right)=E(X^{2})-(E(X))^{2}=V(X)<br /> \end{eqnarray*}$

So ich denke das sollte nun stimmen. Endlich diese Aufgabe fertig. Also die war ja wohl technisch schon etwas aufwendig, wobei im nachhinein nicht so schwer, aber den Kommentar mit Kindergarten hättest du dir auch sparen können und etwas nachsichtiger sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja vielen Dank für eure Hilfe, hat ja schließlich zum Ziel geführt. Bis zum nächsten mal muhaha

14.05.2012, 11:01

Huggy

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Ja, das stimmt jetzt.

Natürlich hätte ich ich mir den Kommentar mit dem Kindergarten verkneifen können. Aber ich wollte nicht. Und offenbar hat er ja auch bewirkt, dass du dich endlich damit beschäftigt hast, die einzelnen Terme mal auszurechnen.

Man erlebt das häufig hier im Forum. Man gibt den Leuten Ratschläge und Hilfestellungen. Anstatt diese zu befolgen und mal zu sehen, wohin das führt, wird sofort gejammert, ich sehe nicht, wie mich das zum Ziel führt. Ja mein Gott, am Anfang einer Rechnung kann man oft das Ende noch nicht sehen. Diese Verweigerungshaltung geht mir entsetzlich auf den Geist. Und das entlädt sich dann gelegentlich in unfreundlichen Kommentaren. Ich sehe auch nicht ein, weshalb ich in solchen Fällen meinen Frust für mich behalten sollte.

Um es noch mal klar zu sagen: Ich sehe bei einigen Fragestellern hier im Board eine starke Konsumneigung. Sie möchten alles bis ins kleinste Detail vorgebetet bekommen und nicht wirklich eigene Arbeit in das Problem stecken. Diesen Eindruck hattest du bei mir auch erweckt, ob zu Recht oder Unrecht, sei dahingestellt.

14.05.2012, 19:27

MatheMathosi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann deine Einstellung verstehen, war auf jeden Fall nicht meine Absicht mir die Aufgabe hier vorrechnen zu lassen. Wie dem auch sei, Danke für deine Hilfe Freude

Freude

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