Aussagen über Polynomring K[X]

01.05.2012, 13:44

Hilfloser4

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Aussagen über Polynomring K[X]

Meine Frage:
Sei K ein Körper und K[X] der Polynomring in einer Variablen über K. Für jedes n ? N setzen wir:
K[X]<=n := { f ? K[X] / grad f <=n }
und
K[X]n := { f ? K[X] / grad f =n }

Zeigen sie jeweils für jedes n ? N die folgenden Aussagen:
a) K[X]<=n ist ein Untervektorraum von K[X]
b) es gilt K[X]<=n+1 / K[X]<=n ~= K[X]n+1 als K vektorräume ( K[X] kleiner gleich n+1 geteilt durch K[X] kleiner gleich n ist isomorph zu K[X]n+1 als ... )
c) es gilt K[X] = (+)n?N K[X]n ( K[X] = die direkte Summe von K[X]n n?N )

Meine Ideen:
Ich brauche dringend Hilfe, da ich diese Aufgabe am Freitag abgeben muss und keine Ahnung habe wie ich da drangehen soll. Bitte gebt mir Ansätze bze Lösungen. ( Ich will natürlich verstehen was ich da mache, daher bringt es mir ja nichts die Lösung einfach nur abzuschreiben also seid euch sicher dass ich nicht einfach "so" die Lösung übernehme )
Gruß

01.05.2012, 14:09

DP1996

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Und du hast keinerlei eigene Ideen? Die Lösung hinschreiben wird dir hier keiner, siehe Boardprinzip.

Fang doch einfach mal bei der A an: Was musst du zeigen? Welche Vektorraum-Eigenschaften musst du überprüfen, welche "vererben" sich automatisch?

01.05.2012, 14:17

Hilfloser4

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die Untervektorraum-Axiome sind mir geläufig nur weiß ich nicht wie ich das auf Polynome anwenden soll, vlt hast du ein anderes Beispiel an dem du das zeigen kannst ( nur damit ich weiß wie ich die axiome auf polynome anwenden kann )?

01.05.2012, 14:21

DP1996

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Eigentlich war die Frage ja eher, was du überhaupt nachprüfen musst (Ganz arg viele Axiome vererben sich ja einfach vom Obervektorraum)

Wenn du unbedingt ein Beispiel brauchst, dann schau dir mal das hier an (der Thread war grad so praktisch "in der Nähe")

01.05.2012, 14:33

Hilfloser4

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Hilft mir irgendwie grade nit weiter, wir sollen immer die UVR-Axiome "anwenden", um zu zeigen dass es ein UVR ist, bzw ein Gegenbeispiel liefern, das es nicht so ist. Aber ich komme mit diesem allgemeinen Polynom nicht weiter, das ich in der Aufgabe habe

01.05.2012, 14:42

DP1996

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Wie du aus dem anderen Thread hättest rauslesen können, genügt es zu zeigen, dass die Addition und die Skalarmultiplikation in deinem Unterraum-Kandidaten abgeschlossen sind.
D.h., du musst zeigen:
(i) $\begin{eqnarray*} f,g\in K[x]_{\leq n} \Rightarrow f+g\in K[x]_{\leq n} \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} \alpha\in K, f\in K[x]_{\leq n} \Rightarrow \alpha f\in K[x]_{\leq n} \end{eqnarray*}$

Und Polynome zu addieren bzw. mit einer Variablen zu multiplizieren, sollte doch wirklich kein Problem darstellen.

Warum das ausreicht, darüber können wir dann ja noch sprechen, aber jetzt mach erstmal das.

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01.05.2012, 15:19

Hilfloser4

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ah ok sry. ich glaub wir haben das dann nit UVR-axiome "genannt" sondern haben dann immer mit den axiomen für linearität gerechnet / bewiesen, ok danke dir ich rechne dann erstmal

01.05.2012, 16:16

Hilfloser4

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so also ich habe i) und ii) mal nachgerechnet und bin zu dem Schluss gekommen das es ein UVR ist, weil ( ausgehend von deinen "Definitionen" ):
i)
f:= $\begin{eqnarray*} a_{n}x^{n} \end{eqnarray*}$ +...+ $\begin{eqnarray*} a_{1}x^{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$
g:= $\begin{eqnarray*} b_{n}x^{n} \end{eqnarray*}$ +...+ $\begin{eqnarray*} b_{1}x^{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} b_{0} \end{eqnarray*}$
f+g:= $\begin{eqnarray*} a_{n}x^{n} \end{eqnarray*}$ +...+ $\begin{eqnarray*} a_{1}x^{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} b_{n}x^{n} \end{eqnarray*}$ +...+ $\begin{eqnarray*} b_{1}x^{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} b_{0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (a_{n}+b_{n})x^{n} \end{eqnarray*}$ +...+ $\begin{eqnarray*} (a_{1}+b_{1})x^{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{0}+b_{o} \end{eqnarray*}$

=> Behauptung

ii)
f:= $\begin{eqnarray*} a_{n}x^{n} \end{eqnarray*}$ +...+ $\begin{eqnarray*} a_{1}x^{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ * f:= $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} a_{n}x^{n} \end{eqnarray*}$ +...+ $\begin{eqnarray*} a_{1}x^{1} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ = ...

=> Behauptung

ok dann hab ich a) verstanden und kann das auch nur bei b) und c) bräuchte ich noch einen Denkanstoß bitte

danke aber für deine hilfe

01.05.2012, 16:17

Hilfloser4

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bei ii) fehlt nach dem 2ten Alpha die Klammer, in der dann der Ausdruck von f steht, sry

01.05.2012, 16:32

DP1996

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Zitat:

ausgehend von deinen "Definitionen"

Das sind keine Definitionen, sondern das ist die Anwendung des folgenden Satzes:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U\subseteq V \end{eqnarray*}$ , dann ist U genau dann ein Unterraum, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} (i) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u,v\in U\Rightarrow u+v\in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ii) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u\in U, \alpha\in K\Rightarrow \alpha u\in U \end{eqnarray*}$

Wenn U ein Unterraum ist, ist das klar. Andersherum:
Zuersteinmal ist mit $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} -1\in K \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} -u\in U \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} u-u=0\in U \end{eqnarray*}$ . Und dann muss man sich nur noch überlegen, dass alle anderen Verktorraum-Axiome (Assoziativität (skalar und vektoriell), Distributivität, Kommutativität) für beliebige Elemente aus V gelten, und da U Teilmenge von V ist, gelten sie damit auch für U (U ist ja abgeschlossen).

So, ich hoffe, ich konnte dir das etwas näher bringen.

Zur b)
Was ist denn überhaupt erstmal $\begin{eqnarray*} K[x]_{\leq n+1}/K[x]_{\leq n} \end{eqnarray*}$ ?

Ach ja, und dann hast du die Möglichkeit, mit der Edit-Funktion deine Beiträge auszubessern, nutze das also zukünftig!

01.05.2012, 16:35

Hilfloser4

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Das ist ja grad mein Problem, ich weiß nicht was das heißen soll. Ich hab schon in Büchern nachgeschlagen ob so etwas erwähnt wird, aber ich weiß es nicht.

( Das mit der Edit-Funktion werd ich mir merken, bin erst seit heut dabei )

01.05.2012, 16:38

DP1996

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Das Konstrukt heißt Faktorraum, führ dir also am besten mal den Abschnitt "Definition" bei Wikipedia zu Gemüte.

01.05.2012, 16:54

Hilfloser4

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ok. heißt das ich sollte zunächst beweisen, dass $\begin{eqnarray*} K[x]_{\leq n} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} K[x]_{\leq n+1} \end{eqnarray*}$ ist, und danach müsste ich zeigen dass die Aquivalenzklasse der linken Seite isomorph ist zu der der rechten?

01.05.2012, 17:00

DP1996

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Dass $\begin{eqnarray*} K[x]_{\leq n} \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} K[x]_{\leq n+1} \end{eqnarray*}$ ist, dürfte klar sein, auf einen Beweis können wir also verzichten.

Zitat:

und danach müsste ich zeigen dass die Aquivalenzklasse der linken Seite isomorph ist zu der der rechten?

Nein, sondern dass die Menge aller Äquivalenzklassen isomorph ist zu dem Vektorraum auf der rechten Seite. Es gibt da einen schönen Satz, der allgemein den Faktorraum V/U in Verbindung bringt mit dem Komplement W von U. Falls ihr das hattet kannst du das ja anwenden, ansonsten wird das hier etwas umfangreich...

01.05.2012, 17:05

Hilfloser4

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Zitat:

Es gibt da einen schönen Satz, der allgemein den Faktorraum V/U in Verbindung bringt mit dem Komplement W von U. Falls ihr das hattet kannst du das ja anwenden, ansonsten wird das hier etwas umfangreich...

nein tut mir leid das hatten wir nicht.... das der beweis für den unterraum nicht nötig ist dacht ich ir fast.... und wie funktioniert das dann wenn ich das mit dem komplementsatz nicht gemacht habe? wie geht man dann vor?

01.05.2012, 17:08

DP1996

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Moment, mir ist grad was aufgefallen:
$\begin{eqnarray*} K[x]_{n} \end{eqnarray*}$ ist gar kein Vektorraum (er enthält kein neutrales Element für die Vektoraddition...)
Bist du dir sicher, die Aufgabe richtig abgeschrieben zu haben?

01.05.2012, 17:12

Hilfloser4

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ja so stehts bei mir auf dem Blatt drauf. Ich kann es auch gerne als Bildanhang hochladen wenn du willst?

01.05.2012, 17:14

DP1996

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Ja, mach mal bitte, denn das betrifft die c ja auch noch.

01.05.2012, 17:27

Hilfloser4

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nicht grade scharf aber erkennbar hoffe ich[attach]24264[/attach]

01.05.2012, 17:40

DP1996

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Erkennbar ja. Aber höchst seltsam, denn der Faktorraum links (der ja ein Vektorraum ist) kann natürlich nur zu einem Vektorraum isomorph sein. Blöd blos, dass der "Vektorraum" rechts keiner ist (denn der Grad des Nullpolynoms ist ja -1, und damit ist das nicht in K[x]n ). Ich muss ehrlich zugeben, dass ich dir da momentan nicht weiterhelfen kann...

01.05.2012, 17:44

Hilfloser4

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ist nicht weiter schlimm, also meinst du dass die rechte seite falsch beschrieben wurde und das die aufgabe somit eigentlich unlösbar wäre?

wirkt sich das auch auf die aufgabe c) aus? ja oder?

01.05.2012, 17:51

DP1996

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Ja, das wirkt sich auch auf die c aus.

Wobei mir grad noch was eingefallen ist: Es ist möglich, dass das schlecht notiert ist und besser dastehen sollte:
$\begin{eqnarray*} K[x]_n:=\left\{f\in K[x] | f=\alpha\cdot x^n, \alpha\in K \right\} \end{eqnarray*}$

Wobei das seeehr frei interpretiert wäre (allerdings wäre dann K[x]n ein Vektorraum und die Aussagen wären korrekt.) verwirrt

verwirrt

01.05.2012, 17:54

Hilfloser4

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nehmen wir mal an deine variante würde stimmen wie würde ich dann ansetzen?

01.05.2012, 18:08

DP1996

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Dann wäre die b) mit dem vorher von mir angesprochenen Satz schnell gelöst (Der Satz besagt: " Seien V ein K-Vektorraum und U ein Unterraum. Sei W ein Unterraum so, dass V direkte Summe von U und W ist (W ist dann das Komplement von U). Dann ist V/U~=W"
Der Nachweis der Bedingungen ist relativ einfach, das wäre dann also schnell erledigt.

Und bei der C müsste man halt einfach nachweisen, dass
- alle K[x]n Unterräume sind (also fast die selbe Übung wie in a)
- Diese Unterräume paarweise nur den Nullraum gemeinsam haben
- Und sich eben jedes belieige Polynom aus K[x] als Summe jeweils eines Elementes aus den K[x]n darstellen lässt.

was alles drei recht leicht ist, wenn man sich so ein Polynom mal genauer anschaut.

01.05.2012, 18:11

Hilfloser4

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ich fühl mich dumm in mathe.....

naja danke für die hilfe ich denk ich werd bei der aufgabe nit weiterkommen das geht heute nicht mehr rein....ich versuchs morgen nochmal

01.05.2012, 18:14

DP1996

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jo, ich werd für heute auch Schluss machen. Schönen Abend noch!

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