Existenz von Primitivwurzeln |
| 07.07.2004, 15:34 | RainerZufall | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Existenz von Primitivwurzeln - es für n = 2, n = 4, n = und (p ungerade Primzahl, \{0}) Primitivwurzeln modulo n in gibt; - es für alle anderen n keine Primitivwurzeln modulo n gibt. Vielen Dank. Wäre auch für Lösungsansätze sehr dankbar. Gruss Rainer |
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| 07.07.2004, 17:13 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » |
Fuer n = 2 und 4 ist eine Primitivwurzel einfach anzugeben. Fuer n = p^m fuer eine ungerade Primzahl p und eine natuerliche Zahl m ist Z/n ein Koerper. Du kannst zeigen, dass in diesem Fall (Z/n)* zyklisch ist. Damit hast du dann insbesondere gezeigt, dass eine Primitivwurzel modulo n existiert. Fuer den Fall n = 2p^m verwende den chinesischen Restsatz (Z/n)* isomorph zu (Z/2)*x(Z/p^m)*. Um zu zeigen, das es fuer die anderen Faelle keine Primitivwurzeln gibt, reicht es ja zu zeigen, dass deren multiplikative Gruppe nicht zyklisch ist. Dazu ist es hilfreich, sich den Beweis anzugucken, dass die multiplikative Gruppe von Z/p^m zyklisch ist und zu schauen, wo es bei einer zusammengesetzten Zahl hakt. |
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| 07.07.2004, 17:26 | RainerZufall | Auf diesen Beitrag antworten » |
ok erstmal danke, ich versuche mal, das zu verstehen. werde aber bestimmt noch einge fragen haben. |
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| 08.07.2004, 09:37 | Oudeis | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Existenz von Primitivwurzeln Hallo, wie Irrlicht schon angedeutet hat, ist jede endliche Untergruppe der Einheitengruppe eines Körpers (ja sogar eines Integritätsringes, was dazu leicht zu sehen äquivalent ist) zyklisch. Du kannst das zeigen, indem Du nachweist, daß unter diesen Voraussetzungen (also: R Integritätsring, R* Einheitengruppe von R, U endliche Untergruppe von R*) alle p-Untergruppen von U zyklisch sind, und Dir überlegst, was das für die ganze Gruppe bedeutet. Da die Z_p alle Körper sind, ist damit ein Teil des Problems bereits erledigt. Als nächstes kannst Du Dir für ungerade Primzahlen p die Z/p^2 anschauen. Das sind keine Körper, und leider auch keine Integritätsringe mehr, aber Du kannst zeigen, daß x Primitivwurzel modulo p^2 ist genau dann, wenn x Primitivwurzel modulo p ist und wenn x^(p-1) != 1 ist modulo p^2 (die Notwendigkeit dieser Bedingungen ist klar, daß sie hinreichend sind, erfordert ein bisschen Nachdenken). Mit Hilfe dieses Kriteriums ist es dann möglich, aus einer Primitivwurzel modulo p eine Primtivwurzel modulo p^2 zu konstruieren. Mit einem ähnlichen Kriterium und Induktion nach k geht dann der Beweis, daß für k > 2 und p ungerade Primzahl und eine Primitivwurzel x modulo p^2 stets x auch primitiv ist in Z/p^k . Die Fälle Z/2p^k sind der chinesische Restsatz, wie von Irrlicht schon angemerkt. Daß die (Z/2^k)* für k >= 3 nicht zyklisch sind, siehst Du, wenn Du Dir den Fall Z/8 anschaust, weil eine zyklische Gruppe nämlich keine nicht-zyklischen Faktorgruppen haben kann. Für die anderen Fälle kannst Du allgemeiner beweisen, daß mit abelschen Gruppen G und H, deren Ordnungen nicht teilerfremd zueinander sind, die Produktgruppe GxH niemals zyklisch sein kann. Zusammen mit nochmals Anwendung des chinesischen Restsatzes liefert dies Dir das letzte der gewünschten Resultate. Grüße, Oudeis |
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