Nullteiler bestimmen

03.05.2012, 15:00

Velor92

Nullteiler bestimmen

Meine Frage:
Sei R ein Ring und $\begin{eqnarray*} f: R \rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ eine Funktion mit $\begin{eqnarray*} f(ab) \geq min\{f(a),f(b) \} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie die Nullteiler von R.

Meine Ideen:
Ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Ein Ansatz würde mir scdhon helfen. Also ein Nullteiler wäre ja die Null selbst als trivialer Nullteiler aber wie soll ich die anderen bestimmen?

Kann es sein das es nur den trivialen Nullteiler gibt, denn wenn a ein nicht trivialer Nullteiler ist und a*b= 0 ist aber a und b ungleich 0 sind dann ist f(a*b)=f(0) =0 ist aber ein wiederspruch zu $\begin{eqnarray*} f(ab) \geq min\{f(a),f(b) \} \end{eqnarray*}$ da f(a) und f(b) größer als null sind

03.05.2012, 15:15

soase

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In den mir bekannten Definitionen ist 0 (aus gutem Grund) kein Nullteiler.
Dein Edit stimmt.

Als Anmerkung:
Ich fände die Bedingung
$\begin{eqnarray*} f(a+b) \geq min\{f(a),f(b) \} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(ab) = f(a) +f(b) \end{eqnarray*}$ deutlich natürlicher.

03.05.2012, 15:24

Velor92

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stimmt ja 0 ist kein nullteiler ^^ danke

03.05.2012, 18:34

Mystic

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Au weia, die Null ist kein Nullteiler, für viele gehört die Null nicht zu den natürlichen Zahlen... Leben wir nicht im 21. Jahrhundert? Warum wird die Null noch immer so diskriminiert... unglücklich

Im Ernst: Es gibt verdammt gute Gründe, die Null zu den Nullteilern zu rechnen,meinetwegen zu den den "trivialen" Nullteilern, da hab ich ja nichts dagegen... Andernfalls schafft man Ausnahmen ohne Ende, und ich weiß, wovon ich rede...

03.05.2012, 19:03

SusiQuad

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In der Tat jucken nur die Elemente der mult. Strukur $\begin{eqnarray*} (R,\cdot) \end{eqnarray*}$ ,sodass $\begin{eqnarray*} a\cdot b=0 \end{eqnarray*}$ , insofern ist die diskriminierte $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gar nicht im Spiel der Nullteiler gem. Wiki

Lesen2

03.05.2012, 19:41

Mystic

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Immerhin schreibt der Autor des Artikels wenigstens

Zitat:

Manche Autoren lassen auch die 0 als Nullteiler zu, das heißt sie verzichten auf die Bedingung $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Das ist nach all dem Ignorantentum, das ich auf diesem Gebiet schon erlebt habe, schon fast eine Wohltat... Big Laugh

03.05.2012, 19:48

SusiQuad

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In Wirklichkeit ist die Diskussion bzgl. der Lösung des Problems redundant ...
Wir können das Wort 'Nullteiler' schlicht vermeiden ...

Konstruktiv:
Die $\begin{eqnarray*} 0_R \end{eqnarray*}$ kommt aber bei einer Funktion $\begin{eqnarray*} f:R \to \mathbb N = \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ (mit Eigenschaften) ins Spiel ...

(1) $\begin{eqnarray*} x \sim y :\iff f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ def. eine ÄR auf $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ... (jede Funkt. tut das)
(2) zeige: Es gibt $\begin{eqnarray*} f^{-1}(0) \in R \end{eqnarray*}$ ... (triv.) , wobei hier $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
(3) überlege, ob weitere $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \in [0_R] \end{eqnarray*}$ per Eigenschaft 2.

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