Konstruktion Gleichseitiges Dreieck mit Hilfe von vorgegebenen Eigenschaften

03.05.2012, 15:24	realto	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion Gleichseitiges Dreieck mit Hilfe von vorgegebenen Eigenschaften Meine Frage: Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(0\|0), B(12\|0) und C(3\|9). Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem.Konstruiere das gleichseitige Dreieck UVW so, dass [VW] \|\| [AB], U Element [AB], W Element [AC] und M Element BC gilt. Dabei soll M der Mittelpunkt der Strecke [VW] sein. Berechne die Koordinaten der Punkte U, V und W. Meine Ideen: Gedanke: Ich habe das Dreieck ABC und weiß, dass [VW] parallel zu [AB] ist und dass M der Mittelpunkt von [VW] ist und auf der Parallelen liegt. Das heißt, der Punkt W hat zu M den gleichen Abstand wie der Punkt V zu M. Deshalb hab ich ne Gerade gezogen durch den Punkt C und (24 \| 0). Dann hab ich ausprobiert, wo die fehlenden Koordinaten liegen. Berechnungsidee: Evtl. Teilverhältnis? VW = 2 WM Problem: Wenn ich überall die Geraden aufstelle und dann die Punkte in Abhängigkeit von x bestimme, hab ich immer 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten? Meine Theorie würd dann folgendermaßen weiterlaufen: Wenn ich irgendwie den Punkt W bzw. V habe, kann ich über die Drehmatrix U finden (einmal VW> um 60° drehen, einmal WV> um 60° drehen, dann gleichsetzen. ) ?? Wär super wenn mir wer weiterhelfen könnte. Ach ja, hab mal ne Zeichnung angehängt, wo ich ausprobiert habe. Schaut aber sinnvoll aus...
03.05.2012, 16:30	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konstruktion Gleichseitiges Dreieck mit Hilfe von vorgegebenen Eigenschaften Du musst dir für die Geraden BC und AC Gleichungen basteln. Dann überlege dir, wie die Koordinaten von Punkt M liegen, analog die Koordinaten von W. Was weiterhilft ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck: $\begin{eqnarray} h=\frac{\sqrt{3}}{2}a \end{eqnarray}$
03.05.2012, 16:38	original	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konstruktion Gleichseitiges Dreieck mit Hilfe von vorgegebenen Eigenschaften Vorschlag: MU wird die Höhe des gesuchten gleichseitigen Dreiecks sein (klar?) also verhält sich die Strecke MU zu MW wie sqrt(3) zu 1 (ok?) wähle nun mal verschiedene M' irgendwo auf BC und zeichne dazu gleichseitige Dreiecke V'W'U' (mit W' auf AC und V'W' parallel zu AB) die jeweiligen dritten Punkte U' werden (noch) nicht auf AB liegen , aber jetzt siehst du vielleicht, welches die Ortslinie für alle U' sein könnte? stelle die Gleichung für diese Ortslinie auf und berechne deren Schnittpunkt mit AB -> und schon hast du den gesuchten Punkt U .. und das gesuchte Dreieck UVW gibts dann leicht dazu .. oh sulo war mal wieder schneller ..
03.05.2012, 19:24	realto	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also ich habe die Gleichungen der Geraden BC (y = - x + 12) und AC (y = 3x) aufgestellt. Die Punkte M (x \| - x + 12) und W (x \| 3x) kann ich in Abhängigkeit von x auch bestimmen. Ok. Das mit dem Verhältnis der Strecke MU zu MW = sqrt (3) zu 1 kann ich ebenfalls nachvollziehen. Die Ortslinie geht ja durch den Punkt C. DAss ich letztendlich diese Gerade und die Gerade AB gleichsetzen muss, um U zu erhalten ist klar. Aber ich kann die Gerade der Ortslinie doch nicht einfach aufstellen. Mir fehlen da noch Informationen, ansonsten hab ich in meiner Gleichung 3 Unbekannte und da kann ich wieder nichts damit anfangen...
03.05.2012, 19:36	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Gedankengang war anders: Du hast M (x \| - x + 12) und W (x \| 3x). Es muss gelten: $\begin{eqnarray} h=y =\frac{\sqrt{3}}{2}a \end{eqnarray}$ für M und für W Somit: $\begin{eqnarray} - x(M) + 12=\frac{\sqrt{3}}{2}a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3x(W) =\frac{\sqrt{3}}{2}a \end{eqnarray}$ Und weiterhin: $\begin{eqnarray} x(M) - x(W) = \frac{1}{2}a \end{eqnarray}$ Ich habe bewusst mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}a \end{eqnarray}$ gearbeitet, weil ich mich nicht zu sehr von den Bezeichnungen im gleichseitigen Dreieck entfernen wollte. Jetzt kannst du 3 Gleichungen mit 3 Variablen aufstellen und lösen.
03.05.2012, 20:06	realto	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ok, cool Hab das jetzt probiert. Wenn ich dann meine Punkte, also U (5,72\|0), V (9,35\|6,28); M (5,72\|6,28) und W (2,09\|6,28) mit meiner Zeichnung vergleiche, dann kommt das hin. Dankeschön für die Hilfe
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03.05.2012, 20:26	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.
03.05.2012, 23:06	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
konstruktionsmöglichkeitsbeginn

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