Duale Basis

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Mentos Auf diesen Beitrag antworten »
Duale Basis
Meine Frage:
Hallo zusammen,

Ich habe nur eine kurze Frage zur Bestimmung der dualen Basis.

Eigentlich nehme ich die Basis des z.B R^3, schreibe die Basis-Vektoren als Spalten einer Matrix, invertiere diese und die Zeilen sind meine Duale Basis.

Was soll ich aber machen, wenn ich einen Unterraum vom R^3 gegeben habe, dessen Basis aus nur 2 Vektoren besteht?

Meine Ideen:
Soll ich einen 3. Vektor "konstruieren", indem ich z.B die anderen beiden Basis-Vektoren addiere?

Vielen Dank.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Duale Basis
Hallo Mentos,

Wenn Du einen Vektorraum mit einer Basis (zum Beispiel die Standardbasis des ) hast, dann gibt es zu dieser Basis eine duale Basis . Die ist erst mal da und da muss man auch nichts berechnen. Berechnen kannst Du erst was, wenn Du noch eine andere Basis hast, denn dann kann man die dazu duale Basis bezüglich der Basis darstellen. (Und das macht man eben, wie von Dir beschrieben, durch transponieren und invertieren)

In dem von Dir geschilderten Sachverhalt hast Du von Deinem Unterraum aber nur eine Basis und insofern gibt es natürlich auch eine duale Basis für , aber die ist eben einfach existent und es gibt nichts zu berechnen. Du wirst sie auch nicht als Linearkombination von Elementen des kompletten Dualraums angeben können, da der Dualraum eines Teilraums keine Teilmenge des Dualraums des ganzen ist.

Wenn Dein Teilraum ist, so wird der Dualraum von zwei Vektoren erzeugt, mit für .
Die sind dabei Abbildungen von nach und insofern auch keine Elemente des Dualraums .

Siehe zu diesem Thema auch: Dualraum

Gruß,
Reksilat.
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