Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension

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Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension
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Ich bin der Meinung das die 3 Vektoren linear unabhängig sind. Aber wie soll ich jetzt die Basis aufstellen? verwirrt
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension
Zitat:
Original von Hollyw00d
Ich bin der Meinung das die 3 Vektoren linear unabhängig sind. Aber wie soll ich jetzt die Basis aufstellen? verwirrt


Der Meinung bin ich nicht...
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, hab mich verrechnet.



Daher sind die 3 Vektoren linear abhängig.

Nimmt man nur 2 Vektoren, egal welche, sind diese immer linear unabhängig.

Und wie jetzt weiter?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nimmt man nur 2 Vektoren, egal welche, sind diese immer linear unabhängig.


Genau.

Du wählst also nun zwei dieser drei Vektoren aus und versuchst, daraus eine Basis zu machen, indem du noch Vektoren hinzufügst. Da der sicherlich 4dimensional ist, brauchst du 4 Vektoren in deiner Basis.

Tipp: Die Vektoren der Standardbasis sind sicherlich gute Kandidaten.
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie so hab ich mir das schon gedacht, nur fehlt mir der Ansatz wie ich erkenne welche 2 Vektoren der Standartbasis noch fehlen?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Ausprobieren (Dürfte fast egal sein, mein erster Versuch war ein Treffer)
 
 
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab es jetzt mit ausprobieren gelöst:

Meine Basis:




Aber gibt es nicht eine rechnerische Möglichkeit, also die Basis nicht über einfaches Ausprobieren zu ermitteln?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe die vorhandenen Vektoren zeilenweise in eine Matrix und bringe sie auf Zeilenstufenform. Welche Vektoren fehlen dir dann, damit die Matrix maximalen Rang hat?
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Matrix in ZSF:



Also fehlen noch die Vektoren

Ein Basis wäre demzufolge auch



Richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hollyw00d
Matrix in ZSF:



Hmm. verwirrt Du solltest die Vektoren zeilenweise in eine Matrix schreiben, das heißt, du mußt da eine 2x4-Matrix erhalten.
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, Sorry mal wieder nicht richtig gelesen Hammer

Also in ZSF:

jetzt wähle ich zwei 2 Einheitsvektoren so aus das alle 4 linear Unabhängig sind.
Hier zB.

Ich würde behaupten, dass die Wahl hier relativ egal ist da in jeder Spalte mindestens ein Wert steht. Würden jetzt in einer Spalte nur 0 stehen, müsste ich einen Einheitsvektor in so wählen, dass in dieser "leeren" Spalte eine 0 steht oder?

Also wäre die Basis dann:
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hollyw00d
Ich würde behaupten, dass die Wahl hier relativ egal ist da in jeder Spalte mindestens ein Wert steht.

Mit der Argumentation könntest du auch die Vektoren

nehmen.

Du mußt die Vektoren schon so wählen, daß die Matrix maximalen Rang (= 4) hat. Unter diesem Gesichtspunkt ist aber deine gewählte Basis ok.
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Hab es jetzt auch soweit verstanden.


Wenn ich die Matrix in die ZSF gebracht habe und es würden in einer Spalte nur Nullen stehen, müsste ich einen Einheitsvektor so wählen, dass in dieser "leeren" Spalte eine 1 steht oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Das ergibt sich aber auch schon daraus, daß du die Matrix um Vektoren (Zeilen) ergänzen mußt, so daß sich der Rang der Matrix erhöht. Augenzwinkern
Hollyw00d Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank... Prost Wink
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