Skalarprodukt nachweisen (Integral)

05.05.2012, 20:42

F4ke

Skalarprodukt nachweisen (Integral)

Meine Frage:
Hey,

ICh habe hier eine Aufgabe bei de rich entscheiden soll, ob <.,.> ein Skalarprodukt auf dem Vektorraum V ist.

$\begin{eqnarray*} V=C([0,1)], <f,g>:=\int_0^1 \! f(x) \, dx*\int_0^1 \! g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also irgendwie komme ich hier nicht ganz zurecht.
Kann ich die Symmetrie einfach folgendermaßen zeigen?:

$\begin{eqnarray*} <f,g>:=\int_0^1 \! f(x) \, dx*\int_0^1 \! f(g) \, dx =\int_0^1 \! f(x)*g(x) \, dx=\int_0^1 \! g(x)*f(x) \, dx =\int_0^1 \! g(x) \, dx*\int_0^1 \! f(x) \, dx=:<g,f> \end{eqnarray*}$

Bei der Bilinearität bin ich ähnlich vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} <f+f',g>:=\int_0^1 \! (f+f')(x) \, dx*\int_0^1 \! g(x) \, dx =(\int_0^1 \! f(x) \, dx+\int_0^1 \! f'(x) \, dx)*\int_0^1 \! g(x) \, dx =(\int_0^1 \! f(x) \, dx*\int_0^1 \! g(x) \, dx)+(\int_0^1 \! f'(x) \, dx*\int_0^1 \! g(x) \, dx) =<f,g>+<f',g> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <f,g+g'>=<f,g>+<f,g'> \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} <f,\lambda g>=\lambda<f,g>=<\lambda f,g> \end{eqnarray*}$
habe ich auf ähnliche Weise gezeigt.

Wäre das bis dahin so ok?
Falls das stimmt, kommt jetzt noch positiv definit nachzuweisen, wo ich dann meine Probleme habe, wie genau zeige ich das?
Also $\begin{eqnarray*} <f,f>:=\int_0^1 \! (f(x))² \, dx \end{eqnarray*}$ , aber weiter weiß ich jetzt nicht mehr unglücklich

Hoffe ihr könnt mir hier auf die Sprünge helfen smile

06.05.2012, 00:46

chrizke

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RE: Skalarprodukt nachweisen (Integral)

Zitat:

Original von F4ke
Meine Frage:

Kann ich die Symmetrie einfach folgendermaßen zeigen?:

$\begin{eqnarray*} <f,g>:={\color{blue}\int_0^1 \! f(x) \, dx*\int_0^1 \! f(g) \, dx} ={\color{red}\int_0^1 \! f(x)*g(x) \, dx}=\int_0^1 \! g(x)*f(x) \, dx =\int_0^1 \! g(x) \, dx*\int_0^1 \! f(x) \, dx=:<g,f> \end{eqnarray*}$

Hier machst du es viel zu kompliziert. Denn der Schritt von blau nach rot ist nicht erlaubt. Das Integral ist nicht homomorph bzgl. Multiplikation.

Es gilt aber ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} <f,g>:=\underbrace{\int_0^1 \! f(x) \, dx}_{\in\mathbb{R}}*\underbrace{\int_0^1 \! g(g) \, dx}_{\in\mathbb{R}}=\ldots? \end{eqnarray*}$

Die Bilinearität ist so in Ordnung.

Für die Definitheit kannst du benutzen, dass ein Integral Monoton ist. Das heißt:

$\begin{eqnarray*} u\geq v\quad\Rightarrow\quad \int u(x)\, dx \geq \int u(x)\, dx \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} (f(x))^2\geq ? \end{eqnarray*}$

06.05.2012, 01:19

F4ke

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Danke für die Antwort smile

Stimmt, da ist mir bei der Symmetrie ein Denkfehler unterlaufen, ich hatte zunächst eigentlich sogar folgendes aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} <f,g>:=\int_0^1 \! f(x) \, dx*\int_0^1 \! g(x) \, dx=\int_0^1 \! g(x) \, dx*\int_0^1 \! f(x) \, dx=:<g,f> \end{eqnarray*}$
Nur kam mir das etwas zu trivial vor und ich wollte noch einen Zwischenschritt einbauen der dann etwas nach hinten los ging Big Laugh

Also da jedes Integral $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist kann ich einfach die Kommutativität der Multiplikation hier ausnutzen und bin fertig?

Bezüglich de Definitheit, kann ich da auch mit dem Betrag arbeiten und somit die Monotonie ausnutzen?
Also
wegen $\begin{eqnarray*} f²\geq |f| \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (f(x))² \, dx \geq \int_0^1 \! |f(x)| \, dx > 0 \end{eqnarray*}$
und somit
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (f(x))² \, dx > 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ?

06.05.2012, 11:57

chrizke

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Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)<1 \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt nicht $\begin{eqnarray*} (f(x))^2\geq f(x) \end{eqnarray*}$ .

Du kannst das Quadrat aber doch ganz einfach gegen die Null abschätzen.

06.05.2012, 14:32

F4ke

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kann ich dann einfach sagen für |Latex]f(x) \neq 0[/Latex] gilt $\begin{eqnarray*} (f(x))²>0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (f(x))² \, dx>\int_0^1 \! 0 \, dx=0 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! (f(x))² \ > 0 \end{eqnarray*}$ ?

06.05.2012, 14:34

F4ke

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sollte natürlich "für $\begin{eqnarray*} f(x)\neq0 \end{eqnarray*}$ " heißen