Kanten und Ecken eines Polyeders

06.05.2012, 13:20

Philipp Imhof

Kanten und Ecken eines Polyeders

Hallo!

Ich bin gerade an einer Aufgabe, wo es darum geht, alle Seiten eines Polyeders zu bestimmen. Dazu habe ich mit den Ecken begonnen. Das Polyeder ist in R^3, also habe ich mir danach auch gleich eine kleine Skizze gemacht.

Nun hat die mich allerdings mehr verwirrt, als dass sie etwas geholfen hätte: Rein von der rechnerischen Logik her, ist es doch so, dass zwischen zwei Ecken nur dann eine Kante bestehen kann, wenn diese beiden Ecken auch zwei gemeinsame Ungleichungen mit Gleichheit erfüllen, also z.B. die Ecke V_1 erfüllt 1-2-3, die Ecke V_2 erfüllt 1-2-4, dann gibt es zwischen ihnen eine Kante, die 1-2 erfüllt.

Auf meiner Skizze sieht es sehr stark danach aus, als ob zwischen zwei Ecken, von denen die eine 1-2-3 und die andere 3-4-5 erfüllt, auch eine Kante geben müsste. Aber das kann doch nicht sein, oder?

Danke & Gruss

06.05.2012, 21:32

weisbrot

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RE: Kanten und Ecken eines Polyeders
sry, kannst du vielleicht mal sagen um was für ein polyeder es sich handelt und was du mit

Zitat:

wenn diese beiden Ecken auch zwei gemeinsame Ungleichungen mit Gleichheit erfüllen, also z.B. die Ecke V_1 erfüllt 1-2-3, die Ecke V_2 erfüllt 1-2-4

meinst. dann kann vielleicht irgendjemand verstehen worum es hier überhaupt geht. lg

07.05.2012, 09:28

Philipp Imhof

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RE: Kanten und Ecken eines Polyeders
Es geht um Polyeder als Lösungsmengen von linearen Ungleichungssystemen und darum, ihre Seitenflächen zu bestimmen. (Das schien mir eigentlich klar zu sein, da u.a. Optimierung zu den Topics dieses Unter-Forums gehört.)

Weiter geht es darum, dass eine Ecke in einem n-Dimensionalen Polyeder genau n der m definierenden Ungleichungen mit Gleichheit erfüllen muss. Als Beispiel habe man ein Polyeder im R^3 und eine Ecke V_1, welche alle Ungleichungen erfüllt und die ersten drei davon sogar mit Gleichheit. Die Ecke V_2 erfülle die ersten beiden und die vierte Ungleichung mit Gleichheit.

Dann gibt es eine Kante, die zwischen V_1 und V_2 verläuft, denn die Ecken erfüllen beide die ersten zwei Ungleichungen mit Gleichheit, also gilt das auch für alle Konvexkombinationen.

Aufgrund dieser Logik kann es zwischen V_1 und einer anderen Ecke V_3, welche ihrerseits die Ungleichungen 1, 3 und 5 mit Gleichheit erfüllt, keine Kante geben. Auf einer Skizze sieht es aber so aus. Deshalb wollte ich sicher sein, dass meine Überlegung stimmt, denn auf eine Skizze kann man sich ja nicht immer verlassen.

07.05.2012, 15:21

weisbrot

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RE: Kanten und Ecken eines Polyeders
ok, das war dir klar, mir jedenfalls nicht Augenzwinkern

nunja, ich kenn mich jetzt nicht so sehr aus, aber werd trotzdem versuchen dir zu helfen.

Zitat:

Auf meiner Skizze sieht es sehr stark danach aus, als ob zwischen zwei Ecken, von denen die eine 1-2-3 und die andere 3-4-5 erfüllt, auch eine Kante geben müsste. Aber das kann doch nicht sein, oder?

- also wenn sie jeweils GENAU diese (also keine anderen) mit gleichheit erfüllen, dann sollten sie meiner meinung nach nur eine gemeinsame seite, aber keine gem. kante haben. vielleicht ist ungleichung 3 redundant - also folgt aus 2 anderen ungleichungen, die beide von beiden punkten mit gleichheit erfüllt werden; oder irgendsowas.
wenn du möchtest kannst du die ungleichungen ja mal posten und wo das problem genau auftritt, dann fällt mir vielleicht was auf. lg

07.05.2012, 16:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Philipp Imhof
Es geht um Polyeder als Lösungsmengen von linearen Ungleichungssystemen und darum, ihre Seitenflächen zu bestimmen. (Das schien mir eigentlich klar zu sein, da u.a. Optimierung zu den Topics dieses Unter-Forums gehört.)

Man kann Polyeder auch in anderen Zusammenhängen betrachten. Den Bezug zu solchen Hyperebenen bzw. Halbräumen hast du erst nachträglich hergestellt. Im übrigen kann man auf diese Weise lediglich konvexe Polyeder beschreiben - es gibt auch noch andere. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Philipp Imhof
Weiter geht es darum, dass eine Ecke in einem n-Dimensionalen Polyeder genau n der m definierenden Ungleichungen mit Gleichheit erfüllen muss.

Sie kann aber auch mehr als n mit Gleichheit erfüllen - Beispiel Oktaeder im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , da sind es an jeder Ecke genau 4 Gleichungen.

Zitat:

Original von Philipp Imhof
Als Beispiel habe man ein Polyeder im R^3 und eine Ecke V_1, welche alle Ungleichungen erfüllt und die ersten drei davon sogar mit Gleichheit.

[...]

Aufgrund dieser Logik kann es zwischen V_1 und einer anderen Ecke V_3, welche ihrerseits die Ungleichungen 1, 3 und 5 mit Gleichheit erfüllt, keine Kante geben.

Wieso nicht?

$\begin{eqnarray*} V_1 \end{eqnarray*}$ : Gleichheit bei (1)(2)(3)

$\begin{eqnarray*} V_3 \end{eqnarray*}$ Gleichheit bei (1)(3)(5)

---> gemeinsame Kante: Gleichheit bei (1)(3)

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