U Teilmenge eines Vektorraums: U auch Vektorraum nachweisen

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SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »
U Teilmenge eines Vektorraums: U auch Vektorraum nachweisen
Hallo!
Hocke gerade vor einer Aufgabe, siehe Anhang.
Wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstehe, ist die punktweise Addition schon bewiesen.

Laut Wiki müsste ich jetzt doch nur noch folgendes nachweisen ( ' sei bei mir das "Punkt" bzw. das normale "Mal" Zeichen, weil das immer verschwindet)

1.

2. (Neutralität der 1)

Ist das richtig, und wenn ja wie geht man bei den beiden Beweisen jetzt am besten vor?

Vielen Dank smile

E: Bin schon wieder in der Schulmathematik gelandet, sorry. Falls ein Mod das sieht: Wärst du so lieb das zu verschieben? Wink
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstehe, ist die punktweise Addition schon bewiesen.


Ja, nämlich mit a=b=1, was dazu gesagt werden sollte, und genauso musst du dir überlegen, dass die Skalarmultiplikation abgeschlossen in V ist.

Was 1. sein soll ist mir nicht ganz klar, und warum du ausgerechnet die Neutralität der 1 brauchst, ist mir ebenfalls schleierhaft.

"Laut Wiki" Wo hast du denn nachgeschaut?
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum

Gleich unter Definition, I-III

In unserem Skript steht leider gar keine konkrete Definition eines Vektorraums.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Aha.

Grundsätzlich musst du zuallererst einmal zeigen, dass die Verknüpfungen wohldefiniert sind, also insbesondere die Summe zweier Vektoren aus V wieder in V liegt. Selbiges für die Skalarmultiplikation.

Dann muss der Vektorraum mit der Vektoraddition eine abelsche Gruppe ergeben, was das heißt, findest du in den Anmerkungen zur Definition: Existenz des Nullvektors, Existenz der additiven Inversen, Gültigkeit des Assoziativitätsgesetzes und des Kommutativitätsgesetzes.

Als nächtes müssen eben noch die Neutralität der 1, die Distributivitäten und die skalare Assoziativität gezeigt werden ( bei Wiki sind das I, IIa, IIb und III).

Es lässt sich jedoch zeigen, dass, wenn V ein K-Vektorraum ist, dann U genau dann ein Unterraum ist, wenn mit auch und liegt, was die Sache erheblich abkürzt.

Wenn du diesen Satz schon hattest, kannst du ihn hier sehr schön verwenden, ansonsten musst du halt alle Eigenschaften nachweisen.
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, sagen wirs mal so; die Definition des Vektorraums kommt erst ca. 20 Seiten später im Vergleich zu dem Teil, wo wir das letze mal aufgehört haben.
Aber da eine andere Aufgabe explizit auf den Untervektorraum eingeht, denke ich darf ich den Satz benutzen.
Lustigerweise steht exakt die gleiche Zeile (da wo am Ende das LIN steht) im Skript als Definition des Untervektorraum.
Dann steht doch schon da, dass U Untervektorraum ist, oder irre ich mich da?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

das ist dann a bissele seltsam. Wenn ihr den Unterraum so definiert habt, müsstest du das benutzen dürfen. Andererseits steht in der Aufgabe lediglich: "ebenfalls ein Vektorraum"

Und für 4 Punkte erwartet man wahrscheinlich, dass du die Vektorraum-Axiome beweist.
 
 
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Ist U denn automatisch Vektorraum wenn es ein Untervektorraum ist?


Für 4 Punkte fände ich die ganzen Eigenschaften etwas arg viel, ehrlich gesagt.
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist U denn automatisch Vektorraum wenn es ein Untervektorraum ist?


Sonst würde man es ja wohl kaum Untervektorraum nennen, oder? Augenzwinkern

Und soo viel ist das nicht, die meisten Eigenschaften sind Einzeiler.
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DP1996
Zitat:
Ist U denn automatisch Vektorraum wenn es ein Untervektorraum ist?


Sonst würde man es ja wohl kaum Untervektorraum nennen, oder? Augenzwinkern

Und soo viel ist das nicht, die meisten Eigenschaften sind Einzeiler.


Einzeiler, wo ich bei keinem irgendwie eine Idee hätte :/

Ja, eigentlich wollen sie dann, dass man die ganzen Axiome nachweist denke ich; sonst gäbs ja auch keine Aufgabe, wenn der Untervektorraum schon gilt?! Sonst könnte ich ja hinschreiben U Untervektorraum nach Def. -> fertig.
Aber warum geben sie das dann überhaupt an?

Hast du einen Tipp wie man konkret mit den Axiomen anfangen kann?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst eben die Abgeschlossenheit der Verknüpfungen:

Die Addition hab ich dir oben ja schon gemacht.
Die Skalarmultiplikation läuft ganz ähnlich, du willst, dass ein Vielfaches eines Vektors wieder in U liegt, hast aber auf der rechten Seite zwei Vektoren. Wie wählst du den zweiten Skalar, um den zweiten Vektor rechts "rauszuschmeißen"?
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DP1996
Zuerst eben die Abgeschlossenheit der Verknüpfungen:

Die Addition hab ich dir oben ja schon gemacht.
Die Skalarmultiplikation läuft ganz ähnlich, du willst, dass ein Vielfaches eines Vektors wieder in U liegt, hast aber auf der rechten Seite zwei Vektoren. Wie wählst du den zweiten Skalar, um den zweiten Vektor rechts "rauszuschmeißen"?


Hä, jetzt verstehe ich gar nichts mehr.
Wo hast du denn das mit der Addition schon bewiesen?
Und was ist die rechte Seite und die zwei Vektoren??
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Addition: In meinem allerersten Post. In aller Ausführlichkeit sähe das so aus:
mit folgt

Die rechte Seite bezog sich auf die Aufgabenstellung.
Wie wählst du a und b, dass auf der rechten Seite des Folgepfeils nur noch steht?
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Ja a kann beliebig sein, und b=0?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Freude (a muss sogar beliebig sein)

Soo, dann versuch dich mal als nächtes an der Existenz der additiven Inversen.
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DP1996
Genau Freude (a muss sogar beliebig sein)

Soo, dann versuch dich mal als nächtes an der Existenz der additiven Inversen.


Und wie schreibe ich das mathematisch korrekt auf?

----
Wenn u=v ist und a=-b würde folgen
au+bv=au-au=0

reicht das?

Existenz des Nullvektors:
b=0 a=1
au+bv=u+0=u
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das reicht, wobei ich mich soagar auf a=1 und b=-1 beschränken würde.
Damit ist jetzt auch klar, dass der Nullvektor drin ist.

Jetzt gibts ne schnelle Arguentation für den ganzen Rest, du darfst jetzt nämlich sagen, dass sich alle anderen Eigenschaften von V auf U vererben.
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DP1996
Ja, das reicht, wobei ich mich soagar auf a=1 und b=-1 beschränken würde.
Damit ist jetzt auch klar, dass der Nullvektor drin ist.

Jetzt gibts ne schnelle Arguentation für den ganzen Rest, du darfst jetzt nämlich sagen, dass sich alle anderen Eigenschaften von V auf U vererben.


Warum darf ich denn jetzt sagen, dass sich alle anderen Eigenschaften von V auf U vererben (Assoziativität, Kommutativität, Neutralität der 1, Distributivität, skalare Assoziativität); weil U Untervektorraum ist?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Was du bis jetzt gezeigt hast war ja, dass du einen Vektor aus U vervielfältigen darfst, zwei Vektoren aus U addieren darfst, und trotzdem nie aus U rauskommst. Insbesondere ist die 0 in U und die additiven Inversen.
Alle anderen Eigenschaften beginnen irgendwie so: "Für alle und gilt, dass..."
Der Körper blieb so oder so der gleiche, aber vor allem gilt das für ALLE Elemente in V, also insbesondere auch für die in U.

PS: Es ist nicht nötig, dass du Beiträge komplett zitierst Augenzwinkern
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du dann einen Tipp wie ich jetzt hinschreibe, dass sich die restlichen Eigenschaften aus V ergeben und somit U Vektorraum ist?
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

"Alle anderen Vektorraum-Eigenschaften vererben sich damit von V auf U, damit ist U Vektorraum."

Ich schreib das auch nicht ausführlicher und hab auch immer meine Punkte bekommen Augenzwinkern
SilverShadow Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar, dann bedanke ich mich nochmal herzlich bei dir für die tolle Hilfe Wink
Jetzt muss ich nur noch so eine ähnliche Aufgabe mit supp lösen.
Da habe ich zumindest schon einen Teil des Beweises.

Aber möchte dich nicht überrumpeln ;P
DP1996 Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne geschehen!

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