Vollständige Induktion Fakultät

06.05.2012, 20:01

dedral15

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Vollständige Induktion Fakultät

Meine Frage:
Erkläre die Beweismethode zur vollständigen Induktion
Beweise damit:
1*1!+2*2!+3*3!+ ... + n*n! = (n+1)!-1

Meine Ideen:
Die linke Seite der Zielgleichung müsste demnach laute:
1*1!+2*2!+3*3!+ ... + n*n! + (n+1)
Die rechte Seite:
(n+1)!-1 +(n+1) und genau hier komm ich leider nicht weiter, es ist meine zweite Aufgabe zu diesem Thema.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen wirklich sehr wichtig.

06.05.2012, 21:17

Telperion

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RE: Vollständige Induktion Fakultät
Hallo,
erstmal hat eine vollständige Induktion ein vorgeschriebens Schema, welches es einzuhalten gilt.
Also fängst du an mit:
Behauptung: $\begin{eqnarray*} 1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+n\cdot n!=(n+1)!-1 \end{eqnarray*}$
Beweis durch vollständige Induktion nach $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
(IA) Hier zeigst du die Behauptung für das erste $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , für das die Behauptung gelten soll, also z.B. für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ .
(IV): Die Beh. gelte für ein bel. aber festes $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (hier kommmt ggf. noch ein > als der Anfangswert hin, wenn dieser nicht 1 ist).
(IS): $\begin{eqnarray*} n\mapsto n+1 \end{eqnarray*}$ .
Dann schreibst du dir am Besten nochmal hin, was du zeigen willst.

Wenn du das gemacht hast schreib es nochmal auf. Versuche von der linken Seite auf die Rechte zu schließen, indem du die (IV) benutzt.

Grüße,
Dominik smile

smile

06.05.2012, 21:31

dedral24

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Induktion
Danke für die Hilfe !
Ich hatte bis jetzt nur einfache Aufgaben ohne Fakultät, da war mir das n+1 klar bewusst.
Wenn ich den IA durchführe für n=1, bekomm ich für n+n! sowie (n+1)!-1 auch 1 heraus. Setz ich n=2 ein so erhalt ich für n+n! die Lösung 4 und für (n+1)!-1 leider die Lösung 5 ?!?!
Um den IS durchzuführen muss ich ja auf der linken Seite der Gleichung n*n! verändern durch n+1, schaut das dann so aus: (n*n!)+1?
Ich komm einfach nicht dahinter, da es erst meine zweite Aufgabe zu diesem Thema ist ? unglücklich

unglücklich

06.05.2012, 21:37

Telperion

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RE: Induktion
Hm, ich denke, du hast dich verrechnet.
n=1: $\begin{eqnarray*} 1\cdot 1!=1=(1+1)!-1=2!-1=1 \end{eqnarray*}$
n=2 $\begin{eqnarray*} 1\cdot 1!+2\cdot 2!=5=(2+1)!-1=3!-1=6-1=5 \end{eqnarray*}$ passt also auch.

Im IS hast du zu zeigen: $\begin{eqnarray*} 1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+n\cdot n!+(n+1)\cdot (n+1)!=(n+1+1)!-1=(n+2)!-1 \end{eqnarray*}$
Wende auf die linke Seite nun deine IV an, die du vielleicht einmal hier hinschreiben solltest. Was erhältst du dann für eine Gleichung?

Grüße,
Dominik
PS: Du warst doch registriert? verwirrt

verwirrt

06.05.2012, 21:50

dedral24

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RE: Induktion
Ah habe meine Fehler erkannt ! bei der IA
IV: 1*1!+2*2!+...+n*n! +(n+1)*(n+1)!= (n+1+1)! kurze Frage woher stammt nun die 2 in (n+2)!-1 ?
IV: 1*1!+2*2!+...+n*n! +(n+1)*(n+1)! = (n+1)!--1+(n+1)*(n+1)!
liege ich hiermit richtig ?

06.05.2012, 21:58

Telperion

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RE: Induktion
Nein, deine IV ist, dass deine Behauptung für n stimmt, du musst dann zeigen, dass sie auch für n+1 wahr ist und das ist der Teil, den es hier zu zeigen gilt.

Zitat:

IV: 1*1!+2*2!+...+n*n! +(n+1)*(n+1)!= (n+1+1)! kurze Frage woher stammt nun die 2 in (n+2)!-1 ?

Das ist die Behauptung, die es im Induktionsschritt (IS) zu zeigen gilt und nicht die Induktionsvoraussetzung (IV)!

Naja, $\begin{eqnarray*} (n+2)!-1=(n+1+1)!-1 \end{eqnarray*}$ ....

Warum schreibst du denn hier

Zitat:

IV: 1*1!+2*2!+...+n*n! +(n+1)*(n+1)! = (n+1)!--1+(n+1)*(n+1)!

IV vor, das ist doch der Schritt, indem du die IV benutzt, aber doch nicht die Indukltionsvoraussetzung selber, oder meintest du, dass du hier die IV benutzt? Dann wäre die Notation unglücklich, da man meinen könnte, dass du hier nochmal die IV hinschreibst..

Ansonsten stimmt der Schritt aber. Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ ausklammern und bist fast fertig.

Grüße,
Dominik smile

smile

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06.05.2012, 22:12

dedral24

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RE: Induktion
Ah ok ja ich hab das mit dem IV verstanden, da hast du natrülich Recht 1*1!+2*2!+...+n*n! +(n+1)*(n+1)! = (n+1)!--1+(n+1)*(n+1)!
Das hier ist natürlich dann mein Beweis des Induktionsschritts.
Bis jetzt hab ich alles verstanden !!!
Ok ich versuche das (n+1)! auszuklammern, es gilt ja (n+1)! = (n+1) * n!
(n+1)!--1+(n+1)*(n+1)!
(n+1)*n!-1 + (n+1)* (n+1) * n!
Ist somit die Aufgabe gelöst ?

06.05.2012, 22:18

Telperion

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RE: Induktion
Deine Beiträge sind etwas konfus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

(n+1)*n!-1 + (n+1)* (n+1) * n!

Wieso sollte damit die Aufgabe gelöst sein? Du musst auf $\begin{eqnarray*} (n+2)!-1 \end{eqnarray*}$ kommen.
Klammere also im Term $\begin{eqnarray*} (n+1)!-1+(n+1)\cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ aus, wende also das Distributivgesetz an. Ich kann dir nicht viel mehr hinschreiben, weil ich sonst die Lösung aufschreibe, denn nach dem Schritt bist du nämlich fertig.

Schön, dass du bis jetzt alles verstanden hast. Freude

Freude

Grüße,
Dominik smile

smile

06.05.2012, 22:36

dedral24

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RE: Induktion
Ich entschuldige mich für meine Konfusität, das Thema is komplett Neuland für mich, es ist meine zweite Aufgabe. Es ist auch mein erster Beitrag in einem Forum, ich versuch mein Bestes zu geben Augenzwinkern

Augenzwinkern

(n+1)!-1 + (n+1)*(n+1)!
(n+1)!-1 + n*(n+1)! + 1*(n+1)! ?!?!

Ich bin fast am verzweifeln ich komme nicht dahinter, als n+1 galt doch:
(n+1)*(n+1)! also würde ich dann einfach die n+1 zu den (n+1)!-1 addieren und hätte (n+2)!-1. Jedoch verstehe ich nicht wie ich über das Distributivgesetz darauf kommen soll, dass Gesetz ist mir bekannt !

06.05.2012, 22:49

Telperion

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RE: Induktion
Hallo,
ist ja kein Problem, du gibst dir ja Mühe. Versuch einfach dir Zeit zu nehmen und ganz strukturiert erst auf einem Blatt zu arbeiten, dann nochmal zu schauen was du aufgeschrieben hast und was du ändern müsst oder weglassen kannst (ist oft einiges).
Also:
$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot (n+1)!-1=(n+1)\cdot 1\cdot 2\cdot \dots \cdot n\cdot (n+1) -1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

(n+1)*(n+1)! also würde ich dann einfach die n+1 zu den (n+1)!-1 addieren und hätte (n+2)!-1.

Was magst du mir damit sagen?
$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$ "galt"? Das ist erstmal ein Term, mehr nicht.

Also, wir haben $\begin{eqnarray*} (n+1)!-1+(n+1)\cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$ . In allen Termen, außer bei -1, steckt ein $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ drin.
Las also die $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ so stehen!
Denk dir die -1 mal weg, wie würdest du dann in $\begin{eqnarray*} (n+1)!+(n+1)\cdot(n+1)! \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} (n+1)! \end{eqnarray*}$ ausklammern?

Grüße,
Dominik

06.05.2012, 23:05

dedral24

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RE: Induktion
Wäre dann aus (n+1)!+(n+1)*(n+1)! nicht (n+1)! ausgeklammert:
(n+1)!*(1+(n+1)) ?
(n+1)!*(n+2)
Stimmt das soweit ?

06.05.2012, 23:08

Telperion

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RE: Induktion
Super, das stimmt! Freude

Freude

Das sieht doch schon schwer nach der Lösung aus, oder? Füge deinen letzten Term zu einem Ausdruck mit einer Fakultät zusammen und bring die -1 ins Spiel, dann bist du durch. smile

smile

Grüße,
Dominik

06.05.2012, 23:16

dedral24

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RE: Induktion
Oh das verstehe ich jetzt garnicht am Ende
Ich habe die (n+1)!*(n+2) ist mir bewusst, ebenfalls muss ich noch die -1 mit einbinden.
Wie füge ich den letzten Term, zu einem Ausdruck mit einer Fakultät zusammen

06.05.2012, 23:19

Telperion

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RE: Induktion
Schreibe das doch mal mit Produkt-Pünktchen-Schreibweise:
$\begin{eqnarray*} (n+1)!\cdot (n+2)=1\cdot 2\cdot 3\dots \cdot (n+1)\cdot (n+2) \end{eqnarray*}$ . Wonach sieht das denn aus? smile

smile

Grüße,
Dominik
PS: Du darfst dir gerne mehr Zeit für deine Antworten nehmen, der Prozess des Denkens (gerade bei so neuen Dingen) bedarf einiger Zeit, die du dir gerne nehmen darfst. Ich sage schon, wenn ich weg muss. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.05.2012, 23:39

dedral24

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RE: Induktion
Den Ausdruck Produkt-Pünktchen-Schreibweise, kenn ich garnicht unglücklich

unglücklich

(n+1)!*(n+2)= 1*2*3...(n+1)*(n+2)

Ah ok dann wird aus dem (n+1)! nun : 1*2*3...(n+1) oder auch n!(n+1) stimmt das ?
So müsste es lauten n!(n+1)*(n+2)
Ich verstehe wirklich nicht wie ich davon auf (n+2)!-1 kommen soll, wird aus dem n!(n+1) nur noch ein Fakultätzeichen (!) oder wie muss ich mir des genau vorstellen ? und die -1 am Ende einfach anhängen ?

06.05.2012, 23:51

Telperion

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RE: Induktion

Zitat:

Produkt-Pünktchen-Schreibweise

Ups, da ist was falsch angekommen. Das war ein Neologismus von mit, sorry! Ich wollte sagen, dass diese Schreibweise mathematisch nicht so ganz sauber ist (man drückt das dann durch Summen und Produktzeichen aus) aber es hilft bei der Vorstellung, da der Ausdruck dann nicht mehr so ganz komisch aussieht.

Versuch doch mal in dieser Schreibweise $\begin{eqnarray*} (n+2)! \end{eqnarray*}$ darzustellen. Der Ansatz, den Term zu $\begin{eqnarray*} n!\cdot \text{irgendwas} \end{eqnarray*}$ umzuschreiben hilft hier nicht.

Also, kurze Zusammenfassung:
Wir sind im Indutktionsschrit soweit, dass wir $\begin{eqnarray*} 1\cdot 1!+2\cdot 2!+\dots+n\cdot n!+(n+1)\cdot (n+1)! \end{eqnarray*}$ mithilfe der Induktionsvoraussetzung soweit umgeformt haben, dass wir - wenn wir die -1 kurz vergessen und am Ende dazupacken - bei $\begin{eqnarray*} (n+2)\cdot(n+1)! \end{eqnarray*}$ sind.

Grüße,
Dominik
\edit: Fast übersehen:

Zitat:

und die -1 am Ende einfach anhängen ?

Genau! (Ich hoffe du weißt auch warum...?)

07.05.2012, 00:14

dedral24

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RE: Induktion
Die Schritte lauen ja für die rechte Seite:
(1)= (n+1)! + (n+1)·(n+1)! - 1
(2)= (n+2)·(n+1)! - 1
(3)= (n+2)! - 1

Ich hab zwar irgendwo die Lösung, aber ich bin mir nicht 100% sicher wiso, weshalb warum ich in den Schritten so vorgehen muss unglücklich

unglücklich

Von (1) auf (2) ist es mir bewusst durch das ausklammern, wie du mir schon erläutert hast. Jedoch verstehe ich es nicht von (2) auf (3) zu kommen bzw. (n+2)*(n+1)! zusammenzufassen auf (n+2)!.
Die -1 denk ich mir haben wir weggelassen da dies die Aufgabe erschweren würde und am Ende erst wieder angehängt wird

1·1! + 2·2! + ... + n·n! + (n+1)·(n+1)! = (n+2)! - 1
Hier is mir au bewusst wie ich auf die (n+2)! - 1, nämlich durch das n+1
Aber wie komm ich von (2) auf (3) das musst du mir wirklich erläutern, da steh ich auf dem Schlauch, wahrscheinlich ist es ganz einfach unglücklich

unglücklich

07.05.2012, 00:25

Telperion

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RE: Induktion
Ja, es ist "ganz einfach", aber man muss einfach einmal durchsehen:
$\begin{eqnarray*} (n+2)!=\underbrace{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \dots \cdot n\cdot (n+1)}_{(n+1)!}\cdot (n+2)<br /> (n+1)!\cdot (n+2)=\underbrace{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \dots n\cdot (n+1)}_{(n+1)!}\cdot (n+2) <br /> \end{eqnarray*}$
Ist es jetzt klarer?
Die -1 haben wir kurz weggelassen, weil sie dich zu verwirren scheint. Du musst die dann aber beim sauberen aufschreiben auf jeden Fall immer mitnehmen!

Liebe Grüße,
Dominik

07.05.2012, 00:36

dedral24

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RE: Induktion
Ah jetzt verstehe ich den Zusammenhang !!!
Ich wusste bis gerade nicht das es so gilt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich bin dir wirklich sehr dankbar, du machst auf mich einen wirklich sehr seriösen Eindruck und hast wirklich Ahnung wenn es um die Mathematik geht, wie es mir scheint. Ich hoffe ich habe mich nicht zu dumm angestellt und deine kostbare Zeit vergeudet, hattest wirklich sehr viel Geduld mit mir Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wirklich zu beneiden dein Wissen !!!

Hast du vielleicht Facebook, vielleicht meld ich mich ja mal wieder bei dir wenn ich Probleme hab Augenzwinkern

Augenzwinkern

"xxx.facebook.com/rodrigo.oconnor93"
xxx=www

07.05.2012, 00:49

Telperion

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RE: Induktion

Zitat:

Ah jetzt verstehe ich den Zusammenhang !!! Ich wusste bis gerade nicht das es so gilt Augenzwinkern

Super.

Freude

Ich hoffe, dass du nun die Definition der Fakultät verinnerlicht hast.

Es freut mich, dass du dich für meine Hilfe bedankst. Ich studiere erst im zweiten Semester, eigentlich weiß ich garnicht so viel. smile

smile

Du hast dir sehr viel Mühe gegeben, weswegen es Spaß gemacht hat dir zu helfen.

Nimm bitte aus dem Thread folgendes mit:
Schau dir bei einem Bewies genau an, was du zu zeigen hast; schreib es hin!
Halte die Schemata ein, das hilft oft.
Mach vielleicht zwischendrin in deinem Kopf Zusammenfassungen, was du schon geschafft hast.
Schreib dir auf, was du zur Verfügung hast, um den Beweis zu führen.
Arbeite sauber und strukturiert, sei Selbstkritisch (das ist oft sehr schwer, wie ich aus eigener Erfahrung weiß).

Du kannst dich ja auch erstmal hier anmelden ( bzw. bist das ja eig. schon) und dann kann ich dir ja hier helfen, das geht hier sicher besser als über Gesichtsbuch. Außerdem gibt es hier viele andere, viel kompetentere Helfer, die dir bestimmt mindestens genauso geduldig antworten. smile

smile

Liebe Grüße und eine schöne Nacht,
Dominik Wink

Wink

07.05.2012, 08:23

Mystic

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RE: Induktion
Eine winzige Anmerkung zum Schluss (wo ich hoffentlich damit nicht mehr störe): Die Behauptung gilt schon ab n=0, also dann wirklich für alle natürlichen Zahlen ohne jede Einschränkung... Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.05.2012, 08:27

Telperion

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RE: Induktion
Du sötrst garnicht (zu Mindest mich nicht). denn deine Anmerkung ist ja konstruktiv, danke dafür. Freude

Freude

Da wir in allen Vorlesungen $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ohne die 0 eingeführt haben bin ich an die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ für die natürlichen Zahlen mit 0 gewöhnt und dachte, dass die 0 garnicht zur Debatte steht. Du hast aber natürlich Recht.

Grüße,
Dominik

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