Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume?

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06.05.2012, 20:42	Ann12	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume? Meine Frage: Hallo alle zusammen, ich sitze gerade an einem Matheübungsblatt und komme bei der Frage über Untervektorräume nicht weiter. Wir sollen herausfinden welche der folgenden Mengen U Untervektorräume der Vektorräume V sind. $\begin{eqnarray} <br /> \\V1 = \mathbb R ^{3} , U1 = \left\{(x,y,z) \in \mathbb R ^{3} \| x > 0 \right\}<br /> \\V2 = \mathbb R ^{4} , U2 = \left\{(x,y,z,w) \in \mathbb R ^{4} \| x-y+z=0, \ w=0\right\}<br /> \\V3 = \mathbb R ^{3} , U3 = \left\{v \in \mathbb R ^{3} \| \ \|\|v\|\| = 2 \right\}<br /> \\V4 = \mathbb R [x]\leq 3 , U4 = \left\{f \in V4 \| f(1) = 0\right\}<br /> \\V5 = \mathbb R ^{\left[-1,1\right]} , U5 = \left\{f \in V5 \| f\left(x\right) = 0 \ \forall x \in [0,1]\right\}<br /> \end{eqnarray}$ Für alle Untervektorräume gilt: i) Der Nullvektor muss enthalten sein. ii) $\begin{eqnarray} x,y \in V \Rightarrow x+y \in V \end{eqnarray}$ iii) $\begin{eqnarray} <br /> x \in V, a \in K \Rightarrow ax \in V \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* So, also U1 dürfte kein Untervektorraum sein, wegen x > 0 und ebenso dürfte U3 kein Untervektorraum sein, da bei beiden kein Nullvektor enthalten ist. Allerdings bin ich mir da nicht sonderlich sicher und besonders bei U4 und U5 weiß ich nicht, wie ich das überprüfen soll.. Ich hoffe jemand kann mir da einen Tipp geben. Vielen Dank!! Edit: LaTeX korrigiert. LG Iorek
06.05.2012, 20:46	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Gedanken zu 1 und 3 stimmen schon einmal, geh bei den anderen doch genauso vor. Ist in der zweiten Menge der Nullvektor enthalten? Falls ja, wie sieht es mit der Abgeschlossenheit bzgl. der Addition aus, nimm dir dazu zwei Elemente aus der Menge und bilde die Summe.
06.05.2012, 20:52	Ann12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für die schnelle Antwort und auch fürs Korrigieren. Also für U2 würde ich sagen ist der Nullvektor enthalten. Denn wenn man x = 0, y=0, z=0 und w =0 setzt, ist es erfüllt. Wenn meine Probe stimmt, dann ist U2 ein Untervektorraum, da ii) und iii) auch erfüllt sind. Aber wie kann ich das bei U4 und U5 vorgehen? Das f irritiert mich dort irgendwie.
06.05.2012, 20:54	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob deine Probe stimmt, kann ich nicht sagen, aber U2 ist ein UVR, ja. Bei U3 hast du den Raum der reellen Polynome vom Grad kleiner/gleich 3 sein, deine Vektoren sind hier also Polynomfunktionen.
06.05.2012, 21:01	Ann12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also muss ich dann zum Beipsiel für U4 Polynome bilden, die bei x=1 den Wert 0 haben und dann schauen, ob diese bei Addition oder Multiplikation mit einem Skalar im Vektorraum sind?
06.05.2012, 21:05	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob diese in der Menge sind, ja. Beachte aber, dass du das für allgemeine Polynome mit dieser Eigenschaft nachweisen musst, nicht nur für ein konkretes Beispiel.
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06.05.2012, 21:10	Ann12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ok... ich weiß jetzt aber noch nicht, wie genau ich das machen kann. Also ich hab ja dann ein Polynom der Form ax³ + bx² + c*x + d = 0 und für x setze ich dann 1 ein. Aber wie genau soll ich dann die Bedingungen überprüfen?
06.05.2012, 21:14	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Seien $\begin{eqnarray} f,g\in U_4 \end{eqnarray}$ , was wissen wir dann über $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ? Was können wir dann über $\begin{eqnarray} f+g \end{eqnarray}$ sagen, erfüllt die Summe die Bedingungen um in der Menge zu liegen?
06.05.2012, 21:21	Ann12	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für f und g muss dann gelten f(1) = 0 und g(1) = 0. Sorry, wenn ich gerade etwas langsam bin, aber wir hatten dazu noch nie Beispiele und ich kann mir das irgendwie gerade nicht vorstellen...
06.05.2012, 21:29	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch bisher gut. Was ist dann mit f+g, erfüllt das die Anforderungen um in der Menge zu liegen?
06.05.2012, 21:41	Ann12	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dann müsste gelten (f+g) (1) = f(1) + g(1), da f(1)=0 und g(1)=0 muss (f+g)(1)=0 sein. ich hab mir gerade ein beispiel überlegt, also für f = (1 -1 1 -1)^t und g = (3 2 -4 -1)^t zur Basis B = (1,x,x²,x³). wenn ich dann (f+g) rechne, dann erhalte ich dafür (4 1 -3 -2)^t und dafür gilt (f+g)(1) = 0.
06.05.2012, 21:43	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beispiel ist zwar nett, um es sich zu veranschaulichen, für den eigentlichen Nachweis hilft es aber nicht weiter. Aber ja, (f+g)(1)=0 ist richtig, wie sieht es dann nun mit der Abgeschlossenheit bzgl. der Addition aus, ist diese erfüllt?
06.05.2012, 21:52	Ann12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, natürlich kann man nicht durch Beispiel beweisen, aber ich kann mir so besser vorstellen, was ich gerade machen muss. Also allgemein wäre dann f = (a b c d)^t und g = (e f g h)^t , also muss dann (f+g) = ( a+e b+f c+g d+h)^t. Ich glaube ich stehe gerade extrem aufm Schlauch, ich weiß zwar was du meinst aber mir fehlt das gerade schwer zu formulieren.....
06.05.2012, 21:54	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Lass mal irgendwelche Darstellungen zu Basen weg, das bringt nichts. Was muss ein Polynom erfüllen, um in der Menge zu liegen? Wie sieht das bei f+g aus?
06.05.2012, 21:59	Ann12	Auf diesen Beitrag antworten »
Also für ein Polynom muss gelten, dass der Grad kleiner gleich 3 ist und sobald man 1 einsetzt muss es gleich 0 sein. Das ganze muss auch für f+g gelten. Der Grad ist dann immer noch kleiner gleich 3, da wir ja nur addieren.
06.05.2012, 22:05	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist f+g in der Menge enthalten? Wie sieht es nun mit der skalaren Multiplikation aus? Die Überprüfung verläuft genau wie bei der Addition.
06.05.2012, 22:11	Ann12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, jetzt habe ich es endlich raus! Bei der skalaren Multiplikation ändert sich natürlich auch nur der Koeffizient und der Grad ist immer noch kleiner gleich 3. Vielen vielen Dank nochmal für die Mühe.
06.05.2012, 22:12	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wichtig ist bei der skalaren Multiplikation natürlich noch, dass (af)(1)=0 ist.
06.05.2012, 22:13	Ann12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, klar. Ich denke, ich stand mir bei der Aufgabe viel selbst im Weg, weil ich das ganze viel komplizierter zeigen wollte als notwending...

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