Beweis Primitivwurzeln

07.05.2012, 21:17

mattix

Beweis Primitivwurzeln

Meine Frage:
Guten Abend!
Kann mal jemand über den folgenden Beweis drübergucken, ob das so stimmt? Wäre echt super!
Ich soll beweisen, dass es keine Primitivwurzeln modulo $\begin{eqnarray*} 2^{l} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} l \geq 3 \end{eqnarray*}$
gibt.

Meine Ideen:
Ich muss zeigen, dass die Einheitengruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/{2^{l}\mathbb Z} \end{eqnarray*}$ kein Element der Ordnung $\begin{eqnarray*} 2^{l}-1 \end{eqnarray*}$ enthält.
Ich weiß aber, dass die Anzahl der Einheiten $\begin{eqnarray*} \phi(2^{l}) \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ die Eulerfunktion ist. Diese kann ich berechnen:
$\begin{eqnarray*} \phi(2^{l})= 2^{l}\prod_{p} (1-\frac{1}{p})= 2^{l}* \frac{1}{2}= 2^{l-1} \end{eqnarray*}$
(Das Produkt soll über alle Primzahlen, die in der Zerlegung vorkommen, sein. Das hab ich leider mit Latex nicht hinbekommen...)
Jetzt muss die Ordnung jedes Elements die Gruppenordnung teilen. Und da
$\begin{eqnarray*} 2^{l}-1 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 2^{l-1} \end{eqnarray*}$ teilt, kann es kein Element dieser Ordnung geben.

08.05.2012, 10:02

lp-raum

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, du hast die Aufgabe falsch verstanden, insbesondere auch weil dein Beweis auch für $\begin{eqnarray*} l=2 \end{eqnarray*}$ funktionieren würde und die Aussage, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2^l\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ keine Einheit der Ordnung $\begin{eqnarray*} 2^l-1 \end{eqnarray*}$ enthält, trivial ist, weil dieser Ring kein Körper ist (und daher nicht nur aus Einheiten und der Null besteht).
Wahrscheinlich ist gemeint, dass zu zeigen ist, dass die Einheitengruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2^l\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ nicht zyklisch ist für $\begin{eqnarray*} l\geq 3 \end{eqnarray*}$
D.h. dass es keine Einheit der Ordnung $\begin{eqnarray*} 2^{l-1} \end{eqnarray*}$ gibt.

08.05.2012, 10:19

lp-raum

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beweis, der kanonische (surjektive) Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2^l\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2^{l-1}\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ induziert einen surjektiven Homomorphismus der Einheitengruppen $\begin{eqnarray*} \left( \mathbb{Z}/2^l\mathbb{Z}\right)^{\times}\to\left(\mathbb{Z}/2^{l-1}\mathbb{Z}\right)^{\times} \end{eqnarray*}$ und aufgrund der Ordnungen ist der Kern zweielementig. Benutze das, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb{Z}/2^l\mathbb{Z}\right)^{\times} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} l\geq 3 \end{eqnarray*}$ zwei verschiedene Elemente der Ordnung 2 besitzt.

08.05.2012, 10:24

lp-raum

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag: Ein Element im Kern ist natürlich die Restklasse von $\begin{eqnarray*} 1+2^{l-1} \end{eqnarray*}$

08.05.2012, 15:28

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, einfacher ist es so zu argumentieren: Nachdem es für l=3, d.h., mod 8, keine Primitivwurzel gibt, dann für höhere Potenzen von 2 schon gar nicht, da jede Primitivwurzel mod $\begin{eqnarray*} 2^l \ (l \ge 3) \end{eqnarray*}$ auch Primitivwurzel mod 8 wäre...

08.05.2012, 22:10

mattix

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen dank für die Antworten!
Schade, ich hatte mich schon gefreut, wenigstens einmal einen Beweis in meinem absoluten "Hassfach" Zahlentheorie gekonnt zu haben Hammer

Ich habe allerdings eine Frage zu diesem Beitrag:

Zitat:

Original von lp-raum
Zum Beweis, der kanonische (surjektive) Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/2^l\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2^{l-1}\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ induziert einen surjektiven Homomorphismus der Einheitengruppen $\begin{eqnarray*} \left( \mathbb{Z}/2^l\mathbb{Z}\right)^{\times}\to\left(\mathbb{Z}/2^{l-1}\mathbb{Z}\right)^{\times} \end{eqnarray*}$ und aufgrund der Ordnungen ist der Kern zweielementig. Benutze das, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb{Z}/2^l\mathbb{Z}\right)^{\times} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} l\geq 3 \end{eqnarray*}$ zwei verschiedene Elemente der Ordnung 2 besitzt.

Irgendwie ist mir der Zusammenhang zur Aufgabe nicht klar. Wieso würde ein zweielementiger Kern dann zeigen, dass es keine Primitivwurzeln gibt?Könntest du das bitte nochmal genauer schreiben? Vielen Dank!

09.05.2012, 07:40

lp-raum

Auf diesen Beitrag antworten »

Das nichttriviale Element im Kern ist $\begin{eqnarray*} a=1+2^{l-1} \end{eqnarray*}$
Es gilt also $\begin{eqnarray*} a^2=1 \end{eqnarray*}$ da der Kern eine Gruppe bildet. (oder man kann es auch leicht direkt nachrechnen)
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} (-1)^2=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\neq -1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} l\geq 3 \end{eqnarray*}$
Eine zyklische Gruppe hat aber für jeden Teiler ihrer Ordnung nur genau eine Untergruppe dieser Ordnung.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis Primitivwurzeln

Verwandte Themen