Bivariate Bernsteinpolynome bilden Basis

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toneesnightmare Auf diesen Beitrag antworten »
Bivariate Bernsteinpolynome bilden Basis
Meine Frage:
Ich soll zeigen das die Bernsteinpolynome
mit als baryzentrische Koordinaten von und eine Basis des Raums der bivariaten Polynome vom totalen Grad d sind.
Die haben ja eigentlich die Basis




Meine Ideen:
Die Anzahl der Basiselemente, , stimmt ja schon.
Das die eins im Aufspann der Bernsteinpolynome liegt ist auch klar, denn sie summieren zu Eins, und dies wäre eben die gesuchte Linearkombination.
Zudem gibt es einen Satz der besagt, dass jeder Punkt eindeutig als
beschrieben werden kann.
Dann nütze ich diese Darstellung um auf die Linearkombination von x bzw. y zu kommen, denn

Hier konnte ich die letzte Gleichheit nicht ganz nachvollziehen...irgendwie fließen die im vorderen Faktor in die Summe ein so das zu wird.

Also gibt es für und die Darstellungen:


Und somit liegen sie auch im Aufspann der Bersteinpolynome.
Verstehe ich dies soweit alles richtig?

Nun kann man anscheinend via Induktion weiter machen, wobei ich hier gleich den Anfang nicht ganz verstehe. Ich weiß das im Aufspann liegen, warum betrachte ich hier ? Ist dies etwa der Induktionsschritt, also von auf ?
Hier die eben beschriebene Beweisskizze:

Und warum gilt hier die erste Gleichheit? Außerdem ist dies ja nur für , kann man sich dann darauf berufen, dass es für analog geht?

Gruß
toneesnightmare Auf diesen Beitrag antworten »

Hat keiner eine Idee?
Soll ich das ganze lieber nochmal im Bereich Lineare Algebra stellen?
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