Ungleichungen

09.05.2012, 16:47

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

Ungleichungen

Meine Frage:
Zeige für a,b,c,d > 0:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} }{4} }\geq \sqrt[3]{\frac{abc+ abd+ acd+ bcd}{4} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Also es geht hier um Mittelungleichungen. Die Linke Seite ist ja schon das Quadratische Mittel von a,b,c und d. Nun müsste ich auf die rechte Seite das Harmonische, Geometrische oder Arithmetische Mittel von a,b,c und d in irgendeiner Form haben. Ich komme aber einfach nicht drauf, wie ich das mit der 3. Wurzel hinkriegen soll...
Kann mir jemand weiterhelfen?

09.05.2012, 16:56

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichungen
Vielleicht hift es, wenn man statt Wurzel "^1/2" und statt 3.Wurzel "^1/3"
verwendet

09.05.2012, 16:58

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich auch schon probiert, aber was bringt das? Es ist ja immer noch das selbe, nur anders geschrieben... ich habe versucht, dann ^6 zu nehmen, aber da entsteht nur Chaos.
Hat noch jemand Ideen?

09.05.2012, 17:25

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin soweit, dass ich sagen kann, dass:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} }{4} } \geq \frac{a+b +c +d }{4} \end{eqnarray*}$

Wie komme ich jetzt von dieser rechten Seite $\begin{eqnarray*} \frac{a+b +c +d }{4} \end{eqnarray*}$ zu der Rechte Seite der gewünschten Ungleichung?

Hat jemand eine Idee, wies weitergeht?

10.05.2012, 15:58

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Lehrer hat mir jetzt den Tipp gegeben, dass ich entweder die Ungleichung über das p-te und q-te Mittel von Zahlen, also wenn $\begin{eqnarray*} p<q \end{eqnarray*}$ , dann
$\begin{eqnarray*} \sqrt[p]{\frac{x_{1}^{p}+ x_{2}^{p}+ ...+ x_{n}^{p}}{n} } \leq \sqrt[q]{\frac{x_{1}^{q}+ x_{2}^{q}+ ...+ x_{n}^{q}}{n} } \end{eqnarray*}$ .
Außerdem soll ich von einer Seite ausgehen, an der schon ein Mittel erkennbar ist und auf der anderen Seite ein anderes Mittel der selben Zahlen bilden und auf die eigentliche Seite zurückführen.
Nur komme ich nicht drauf, wie ich das zurückführen soll... verwirrt

verwirrt

Kann mir jemand weiterhelfen?

17.05.2012, 15:39

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt noch eine Idee.
Ich nehme auf der rechten Seite die Wurzel statt der dritten Wurzel.
Also $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ d^{2} }{4} }\geq \sqrt{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}} \end{eqnarray*}$
was sich zu $\begin{eqnarray*} a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ d^{2}\geq abc+abd+acd+bcd \end{eqnarray*}$ vereinfacht.
Das sieht ja schon mal viel besser aus.
Jetzt wollte ich von der Quadratwurzel auf die 3. Wurzel zurückschließen.
Geht das? Und wenn ja, wie?

Kann mich bitte jemand aus diesem Monolog befreien? Gott

Gott

Anzeige

17.05.2012, 20:07

kgV

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du von der dritten auf die zweite Wurzel gegangen bist, hast du den umgekehrten Exponenten (statt der 3. Wurzel von a $\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ schreiben) mit $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ erweitert. Genauso geht es umgekehrt (also: den Exponenten mit $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ erweitern.
Ich frage mich allerdings, ob es erlaubt ist, nur eine Seite zu erweitern... Wink

Wink

Aber da du den Vorgang ja rückgängig machst, ohne etwas zu ändern, dürfte sich das nicht auswirken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten solltest du die linke Seite der Ungleichung ebenfalls in beiden Schritten erweitern, um die Regeln voll zu erfüllen

Deine Formeln müssten meiner Meinung nach lauten:

$\begin{eqnarray*} {\left(\sqrt{\frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ d^{2} }{4} }\right)}^{\frac{3}{2}}\geq \sqrt{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a^{2}+ b^{2}+ c^{2}+ d^{2} }{4} }\geq \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}} \end{eqnarray*}$

18.05.2012, 10:54

thk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ungleichungen
Hmmm für a=b=c=d ist die Gleichheit erfüllt.

Wegen (a-x)(a+x)<a^2 für 0<x<a ist das Produkt kleiner, wenn die Summe aus a und b konstant bleibt.

Von der Gleichheit ausgehend sollte daher die rechte Wurzel kleiner sein. Schließlich ist das geom. Mittel kleiner als das arithmetische. Vllt. kannst du daraus den Beweis basteln.

18.05.2012, 12:41

mathe760

Auf diesen Beitrag antworten »

Falls geläufig kann man hier auch die Maclaurin Ungleichung anwenden (googlen), wonach noch

$\begin{eqnarray*} 6\cdot(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq 4\cdot (ab+ac+ad+bc+bd+cd) \end{eqnarray*}$

zu zeigen bleibt. Die letzte Ungleichung folgt aber direkt aus $\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq 2ab \end{eqnarray*}$ durch zyklisches aufsummieren. Ich habe absichtlich keine Komplettlösung gegeben.

Bis denn mathe760 Wink

Wink

18.05.2012, 13:13

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Momentan sehe ich nicht, wozu du

Zitat:

Original von mathe760
$\begin{eqnarray*} 6\cdot(a^2+b^2+c^2+d^2)\geq 4\cdot (ab+ac+ad+bc+bd+cd) \end{eqnarray*}$

überhaupt noch brauchst: Mit AMQM

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}} \geq \frac{a+b+c+d}{4} \end{eqnarray*}$

und auf das rechte AM dann MacLaurin angewandt ist man doch bereits fertig? verwirrt

verwirrt

18.05.2012, 13:42

mathe760

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du natürlich recht, habe ich nicht gesehen... smile

smile

18.05.2012, 13:47

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank dafür, dass du mich auf diese MacLaurin-Ungleichung aufmerksam gemacht hast: Die ist mir komischerweise unter dem Namen noch nie begegnet, obwohl es die eine oder andere Situation gegeben hat, wo ich die durchaus hätte gebrauchen können. Freude

Freude

P.S.: Im Wikipedia-Beweis war ein kleiner Fehler, den habe ich bei der Gelegenheit gleich mal korrigiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.05.2012, 15:26

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Erst mal danke für die vielen plötzlichen Antworten! Freude

Freude

Das mit dem Quadratischen Mittel und dem Arithmetischen Mittel (wär ja auch komisch gewesen, wenn das nichts damit zu tun gehabt hätte...) hatte ich auch schon, ich hab nur nicht gesehn, wies dann weitergehen sollte.
Was ist jetzt diese MacLaurin-Ungleichung? Ich hab noch nie davon gehört.
Kann mir die jemand erklären?

EDIT: Hab mir den Wiki-Artikel durchgelesen, bis zu dem Beispiel mit den drei Zahlen x,y, und z hab ichs verstanden, aber wie ist es mit 4 Zahlen? Die Erweiterung auf n Zahlen hab ich nicht verstanden.

18.05.2012, 15:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wenden die MacLaurin-Ungleichung

Zitat:

Auszug aus http://de.wikipedia.org/wiki/MacLaurin-Ungleichung

Sind $\begin{eqnarray*} a_1,\ldots,a_n \end{eqnarray*}$ positive reelle Zahlen, und ist

$\begin{eqnarray*} S_k = \frac{\displaystyle\sum\limits_{1\le i_1< \ldots <i_k\le n} a_{i_1}\cdots a_{i_k} }{\binom{n}{k}} \end{eqnarray*}$ ,

dann gilt

$\begin{eqnarray*} S_1\ge \sqrt{S_2}\ge \ldots \ge \sqrt[n]{S_n} \end{eqnarray*}$ .

hier auf den Fall von $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ Elementen an, und zwar in der Form $\begin{eqnarray*} S_1 \geq \sqrt[3]{S_3} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a_1=a,a_2=b,a_3=c,a_4=d \end{eqnarray*}$ .

18.05.2012, 15:54

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, mein Problem ist halt, dass ich das mit der Summenschreibweise nicht ganz kapier (ich weiß zwar, wie man die liest, versteh aber nicht ganz, was die da heißen soll).
Was genau ist $\begin{eqnarray*} S_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_{3} \end{eqnarray*}$ ?

18.05.2012, 15:58

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird über alle Index-Tupel $\begin{eqnarray*} (i_1,\ldots,i_k) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq i_1<\ldots<i_k\leq n \end{eqnarray*}$ summiert, und im Nenner steht ja dann auch die Anzahl solcher Tupel, nämlich die Kombinationsanzahl $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} \end{eqnarray*}$ für Auswahl von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Elementen $\begin{eqnarray*} \{1,2,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ .

Also im Fall $\begin{eqnarray*} n=4,k=3 \end{eqnarray*}$ sind das die $\begin{eqnarray*} \binom{4}{3}=4 \end{eqnarray*}$ Tripel (1,2,3), (1,2,4), (1,3,4) und (2,3,4) .

18.05.2012, 16:01

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, verstanden Freude

Freude

, danke!
Wie würde dann jetzt die MacLaurin Ungleichung für 4 Zahlen genau heißen?

18.05.2012, 16:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wirklich, kannst du denn dieses letzte Einsetzen auch jetzt noch nicht selbst durchführen? unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} S_1 = \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{\binom{4}{1}} = \frac{a+b+c+d}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_3 = \frac{a_1a_2a_3+a_1a_2a_4+a_1a_3a_4+a_2a_3a_4}{\binom{4}{3}} = \frac{abc+abd+acd+bcd}{4} \end{eqnarray*}$ ,

und dann habe ich ja schon gesagt: $\begin{eqnarray*} S_1 \geq \sqrt[3]{S_3} \end{eqnarray*}$ .

18.05.2012, 16:12

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, klar! Hammer

Hammer

Danke!

Jetzt wo wir fertig sind, kommt mir doch noch eine Idee... Idee!

Idee!

Was ist, wenn man bei $\begin{eqnarray*} \frac{abc+abd+acd+bcd}{4} \end{eqnarray*}$ in ersten Teil $\begin{eqnarray*} \frac{abc+abd}{4} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{ab}{2} \end{eqnarray*}$ ausklammert und im rechten Teil $\begin{eqnarray*} \frac{cd}{2} \end{eqnarray*}$ . Dann sieht das ja schon etwas nach AM aus... kommt man damit weiter (nur so aus Interesse...)?

18.05.2012, 16:22

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst es versuchen, aber ich denke, so klappt es nicht - es bedarf schon einer feinen Klinge.

Mit einfachen Instrumenten wie AMGM kommt man sehr oft zu Abschätzungen, die leider zu grob sind, als Beispiel mal

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} = \frac{\frac{a^2+b^2+c^2}{3} + \frac{a^2+b^2+d^2}{3} + \frac{a^2+c^2+d^2}{3} + \frac{b^2+c^2+d^2}{3}}{4} \geq \frac{(abc)^{\frac{2}{3}} + (abd)^{\frac{2}{3}} + (acd)^{\frac{2}{3}} + (bcd)^{\frac{2}{3}}}{4} \end{eqnarray*}$ .

Nun würde man zur Erreichung des Ziels eine Ungleichung der Art

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{(abc)^{\frac{2}{3}} + (abd)^{\frac{2}{3}} + (acd)^{\frac{2}{3}} + (bcd)^{\frac{2}{3}}}{4}} \stackrel{?}{\geq} \sqrt[3]{\frac{abc + abd + acd + bcd}{4}} \end{eqnarray*}$

benötigen, aber dummerweise gilt die gerade in der Gegenrichtung $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ - das zeigt, dass man hier nicht zu sehr mit den Abschätzungen schludern darf. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.05.2012, 16:28

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm. Ich meinte eigentlich, dass man $\begin{eqnarray*} \frac{abc+abd+acd+bcd}{4} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \left(ab\cdot \left(\frac{c+d}{2} \right)+cd\cdot \left(\frac{a+b}{2} \right) \right) \end{eqnarray*}$ umformen kann. Dann sind da ja schon ein paar "minni - AMs" dabei. Jetzt muss man noch irgendwie ab und cd vor den AMs verwurschteln... geht das irgendwie?

18.05.2012, 16:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe nicht, wie du hier das Problem mit der dritten Wurzel umschiffen kannst - aber lasse mich gern eines besseren überzeugen.

18.05.2012, 16:40

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

Also (das ist jetzt alles spontan geschrieben, keine Garantie) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \left(ab\cdot \left(\frac{c+d}{2} \right)+cd\cdot \left(\frac{a+b}{2} \right) \right) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \frac{1}{2} \cdot \left(\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \cdot \left(\frac{c+d}{2} \right)+\left(\frac{c+d}{2}\right)^{2} \cdot \left(\frac{a+b}{2} \right) \right) \end{eqnarray*}$

EDIT: Wegen AM und GM

18.05.2012, 16:42

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, aber wie willst du das nun an den linken Teil ankoppeln, da sehe ich keine Verbindung.

EDIT: Ok, es klappt doch - Glückwunsch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.05.2012, 16:58

FCL

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das lässt sich dann nämlich zu $\begin{eqnarray*} \leq\left( \frac{a+b+c+d}{4}\right) ^{3} \end{eqnarray*}$ vereinfachen, dann 3.Wurzel, und fertig !

Danke für deine Hilfe! Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »