Matrix AA = E |
| 09.05.2012, 21:34 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Matrix AA = E Hallo ich hätte da eine Aufgabe mit der ich leider nicht weiterkomm und zwar: Für Mat(n,K)gilt AA =E ( wobei E natürlich die Einheitsmatrix ist) genau dann, wenn A diagonalisierbar ist und alle Eigenwerte ±1 sind. Ich hoffe ihr könnt mir hierbei weiterhelfen Meine Ideen: Ich weiss, dass wenn AA=E die Matrix A auch gleichzeitig ihre Inverse matrix sein muss. Und wenn alle Eigenwerte 1 und -1 sein müssen, dann hat das chrakteristische Polynom iwie die Form (X-1)(X+1). ( oder so ähnlich ) Kann es vielleicht sein, dass ich auch beweisen muss, dass das produkt von 2 Diagonalmatrizen wieder eine Diagonalmatrix ist? ( wegen A ist diagonalisierbar undE ist das ja sowieso) |
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| 09.05.2012, 21:43 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Matrix AA = E Das char. Polynom hilft dir gerade nicht besonders viel weiter. Denn du bekommst damit im besten Fall raus, dass +1, -1 EW sind. Diagonalisierbar kannst du völlig vergessen. Die Rückrichtung sollte relativ leicht sein (das Quadrat einer diagonalisierbaren Matrix ist diagonalisierbar wirst du brauchen/herleiten müssen. Ist nicht schwer). Für die Hinrichtung würde ich mit den Basisvektoren testen, ob sie "zufällig" Eigenvektoren sind, und dann den Eigenwert bestimmen. |
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| 09.05.2012, 21:56 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die schnelle Antwort, dass problem ist nur, dass ich ja keine konkrete Martix gegeben hab, wie soll ich dann machen einfach allgemein Wenn ich jetzt dann eine 2x2 matrix mit den Vektoren (a,b) und (c,d) sind diese dann doch Basisvektoren, wenn sie voneinander unabhängig sind? Und bei den Eigenwerten weis ich ja bereits, dass diese -1 und 1 sein müssen. Aber wie bekomm ich da dann meine Eigenvektoren hin? |
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| 09.05.2012, 21:59 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit Basisvektoren meinte ich die Basis des . D.h. wobei mit der 1 an der i-ten Stelle. |
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| 09.05.2012, 22:03 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Davon habe ich leider noch nichts gehört;-( |
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| 09.05.2012, 22:07 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du arbeitest mit Matrizen, Diagonalisierungen, hast aber nichts von der kanonischen Basis des Vektorraums gehört? |
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| 09.05.2012, 22:13 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein tut mir leid leider nicht;-) Kann man das iwie bei dem beweis umgehen ( bei deiner Reaktion denke ich aber, dass das wohl nicht gehen wird)? |
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| 09.05.2012, 22:19 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann es sicher irgendwie umgehen, aber das ist die einzige Idee die ich hatte. Außerdem ist das wirklich sehr elementar, insb. wo diagonalisieren heißt eine Basis zu wechseln, Matrizen immer bezüglich einer Basis dargestellt werden usw. D.h. das Thema Basis ist überall im Hintergrund, deswegen würde es mich sehr wundern nicht über Basen, insb. über die kanonische, gesprochen zu haben. |
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| 09.05.2012, 22:29 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben schon über Basen gesprochen, aber dann mussten wir z.b eine Basis zu i-einen UVR bestimmen. Habe mir das mit der kanonischen Basis gerade einmal angeschaut, werde aber leider nicht so ganz schlau daraus. Kann es sein, dass diese Basis eine Basis zu jeden UVR ist? ( hab nochmal im Skript nachgeschaut, wir haben sie im letzten Jahr nur kurz definiert aber eig nie benutzt) |
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| 09.05.2012, 22:32 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man nennt eine Basis nur kanonisch, wenn man die häufig nimmt und sie sich anbietet. Ich hab dir ja eine Basis gegeben. Du kannst sofort sehen, dass die linear unabhängig ist. Man kann auch leicht angeben wie man einen beliebigen Vektor darstellt. Eine schönere findet man im allgemeinen nicht für den R^n (dafür (!) ist es eine Basis). |
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| 09.05.2012, 22:39 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja ein beliebiger vektor davon wäre ja dann v1=( 1,0,0,....) oder v2=(0,1,0,0,0,...) |
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| 09.05.2012, 22:58 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich mische mich mal kurz ein. Wenn du nämlich schon den Zusammenhang zwischen Minimalpolynom und Diagonalisierbarkeit kennst, so ist die Hinrichtung auch schnell erleidigt, weil gilt, wo , also Wenn das nicht bekannt ist, so könntest du einfach mal die Matrix trigonalisieren (das geht ja im algebraischen Abschluss von K immer) und dann einsehen, dass das in Wirklichkeit schon eine Diagonalisierung ist. Übrigens: die Aussage gilt nur für Charakteristik (und das solllte im Beweis also auch irgendwo benutzt werden), das sollte schon vorrausgesetzt werden. PS: Die Rückrichtung ist übrigens noch einfacher wie schon erwhänt, du betrachtest einfach eine Basis aus Eigenvektoren. Dann gilt für alle Basisvektoren und schon ist man fertig. |
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| 09.05.2012, 23:08 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und durch das Minimalpolynom ist dann gezeigt, dass alle eigenwerte -1 und +1 sind. Und wenn das Minimalpolynom in Linearfaktoren zerfällt, dann ja auch dass chrakteristische polynom ( muss ich, oder besser kann ich dann noch iwie zeigen dass die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit ist, oder kann ich das einfach voraussetzen wenn ich sage, dass A diagonalisierbar ist?) |
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| 10.05.2012, 07:42 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist denn nun der Zusammenhang zwischen Minimalpolynom und Diagonalisierbarkeit? Das kam in deinem Post nicht ganz so rüber. |
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| 10.05.2012, 09:48 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja wenn das Minimalpolynom existiert, dann ist die Matrix doch diagonalisierbar, oder? |
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| 10.05.2012, 09:53 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wer erzählt denn sowas? 
Zu jedem Endomorphismus auf einem endl. dimensionalen VR existiert ein Minimalpolynom. Aber nicht alle sind diagonalisierbar... |
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| 10.05.2012, 13:53 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Einen zusammenhang den ich zwischen Minimalpolynom und diagonalisierbar kenne ist, dass wenn das Minimalpolynom nur einfache Nullstellen hat, dass die Matrix dann diagonalisierbar ist. Aber ich denke nicht, dass mir das hier nicht vile hilft, weil das minimalpolynom ja auch (X^2-1) sein kann. |
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| 10.05.2012, 15:31 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hat etwa doppelte Nullstellen (in Charakterisktik ungleich 2) ?
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| 10.05.2012, 16:28 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein;-) damit heißt es ja dann, dass die matrix A mit diesem Minimalpolynom diagonalisierbar sein muss. Aber damit ist meine aufgabe doch noch nicht beweisen oder? |
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| 12.05.2012, 13:55 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habe ich nun recht mit meiner vermutung, oder nicht;-) |
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| 12.05.2012, 16:41 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sollte stimmen. Und deine Aufgabe hat 2 Richtungen, und damit wäre höchstens eine abgehakt. |
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| 12.05.2012, 17:49 | picadomi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok gut thx. Die Rückrichtung des Beweises habe ich bereits 
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