Zufallsvariable

10.05.2012, 06:53

Gast11022013

Zufallsvariable

Meine Frage:
Moin, ich habe mal eine Grundsatzfrage:

Irgendwann im Verlaufe von Stochastikvorlesungen sagt man ja einfach nur noch, daß eine Zufallsvariable X zum Beispiel gleichverteilt ist auf dem Intervall [0,1] und schreibt dafür zum Beispiel $\begin{eqnarray*} X\sim\operatorname{SG}([0,1]) \end{eqnarray*}$ .

Was genau meint man dann eigentlich?

Meint man damit, daß die Verteilung der Zufallsvariablen das Wahrscheinlichkeitsmaß der stetigen Gleichverteilung auf [0,1] ist?

Meine Ideen:
Genau genommen bedeutet das doch:

Betrachte eine Zufallsvariable

$\begin{eqnarray*} X\colon (\Omega,\mathcal{F},P)\to (\mathbb R,\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$

Die Verteilung der Zufallsvariablen ist doch jetzt $\begin{eqnarray*} P'(B)=P(X^{-1}B)=P(\left\{X\in B\right\}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} B\in\mathcal{B} \end{eqnarray*}$ .

10.05.2012, 10:23

Math1986

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RE: Zufallsvariable
Genau das meint man damit

10.05.2012, 18:08

Dopap

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eine Frage noch und 2 Etagen tiefer:

ist dann die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F(x) = p(X\leq x) = x \quad mit \quad x \in [0,1]\cap \mathbb R \end{eqnarray*}$ verwirrt

10.05.2012, 20:12

Math1986

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Irgendwie wirft du mit deiner Notation etwas durcheinander.

Es ist $\begin{eqnarray*} F\colon\mathbb R\to [0,1] \end{eqnarray*}$ definiert als:
$\begin{eqnarray*} F(x):=P\left(X\leq x\right)\in [0,1] \end{eqnarray*}$
Dabei ist $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , also nicht notwendigerweise auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ beschränkt.

Insbesondere ist somit die Zuordnung Wahrscheinlichkeitsmaß <-> Verteilungsfunktion eindeutig.

10.05.2012, 20:22

Dopap

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RE: Zufallsvariable

Zitat:

Original von Dennis2010

Irgendwann im Verlaufe von Stochastikvorlesungen sagt man ja einfach nur noch, daß eine Zufallsvariable X zum Beispiel gleichverteilt ist auf dem Intervall [0,1]...

hier ist aber doch der Definitionsbereich der Verteilungsfunktion das Einheitsintervall.
grob gesagt: X liefert nur Werte aus diesem Intervall.
Wenn es dann noch gleichverteilt sein soll, dann bleibt mir nur die Verteilungsfunktion wie schon vorgehend beschrieben übrig.

oder übersehe ich da was?

10.05.2012, 20:28

Math1986

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RE: Zufallsvariable
Eine Verteilungsfunktion ist aber per Definition immer auf den reellen Zahlen definiert, unabhängig von dem zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraum.

Es gilt in dem konkreten Fall eben $\begin{eqnarray*} F(x)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$ , bzw $\begin{eqnarray*} F(x)=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$

10.05.2012, 20:33

Mystic

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RE: Zufallsvariable

Zitat:

Original von Dopap
oder übersehe ich da was?

Ja, du übersiehst, dass die Verteilungsfunktion (wie auch die Dichtefunktion) grundsätzlich auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert ist, d.h., sie lautet hier

$\begin{eqnarray*} F:\mathbb R \to \mathbb R \text{ mit } x \mapsto min(max(x,0),1) \end{eqnarray*}$

also eine Spur komplizierter, als von dir angegeben... Augenzwinkern

Edit: Sorry, hatte nicht gesehen, dass Math1986 eh online ist...

10.05.2012, 21:13

Dopap

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gut, gegen Definitionen kann man nichts machen. Wenn die Dichte auf [0,1] gleichverteilt ist, schliesse ich auf die Verteilungsfunktion:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \begin{cases} 0 & x \leq 0 \\ x & x \leq 1 \\ 1 & x >0\end{cases} \end{eqnarray*}$

ist das auf Level 3 in Ordnung?

10.05.2012, 21:19

Math1986

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In der Mitte solltest du $\begin{eqnarray*} 0<x\leq1 \end{eqnarray*}$ schreiben, und unten $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ (ich schätze mal, dass das ein Tippfehler war)

Das liefert dann exakt die selbe Darstellung wie Mystic

10.05.2012, 21:53

Dopap

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das mit der Kaskade der Bereiche stammt aus der Programmierung
mit if then else if then else end end end...

mathematisch aber nicht korrekt.

Der Schreibfehler ist ein Schreibfehler , sorry!

insgesamt bin ich aber jetzt befriedigt Freude

Danke

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