Primzahl, modulo

11.05.2012, 17:36

Springpony

Primzahl, modulo

Meine Frage:
Zeige:
für jede Primzahl $\begin{eqnarray*} p (\not= 2) gilt 1^2 3^2 5^2...(p-2)^2 \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} (mod p) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} (3-2)=1 \equiv - (p-1) (mod p) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (5-2)=3 \equiv -(p-3) (mod p ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (7-2)=5 \equiv -(p-5) (mod p ) \end{eqnarray*}$
..
$\begin{eqnarray*} (p-1)-2 \equiv -3 (mod p ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p-2 \equiv -2 (mod p ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1^2 3^2 5^2...(p-2)^2 \equiv (- (p-1))^2 *(-(p-3))^2 *...*(-3)^2 * (-2)^2 ( mod p) \end{eqnarray*}$

Jetzt frag ich mich ob ich das umformen kann, sodass ich den satz von Wilson anwenden kann. Jeoch schaffe ich die Umformung nicht bzw. weiß ich nicht ob meine umformung dahinführt.

14.05.2012, 18:27

Mystic

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Eidt:
Ok, heute offensichtlich nicht mein Tag,...

Du must einfach einsetzen und zwar gemäß

$\begin{eqnarray*} k^2 \equiv -k(p-k) \mod p \end{eqnarray*}$

umgruppieren, Wilson und Minuszeichen abzählen... Das war's dann auch schon... Immer zuerst an Spezialfällen, z.B. p=7 versuchen ein "Gefühl" für die Aufgabe zu entwickeln...

14.05.2012, 18:58

Springpony

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Hallo,

Ich steh an bei : Minuszeichen abzählen.
Wenn ich das mit p=7 durchspiele müsste
$\begin{eqnarray*} (-1)^{\frac{p-1}{2}} \end{eqnarray*}$ rauskommen. weil ein minus ja noch vom Satz Wilson kommt.
Aber wie sehe ich das allgemein?

14.05.2012, 19:10

Mystic

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Bei p=7 kommen drei Minuszeichen von -(7-1), -1(7-2), -(7-3) und ein weiteres vom Satz von Wilson oder siehst du da was anderes als ich? verwirrt

14.05.2012, 19:26

Springpony

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Ja das sehe ich genauso.
aber allgemein sehe ich das irgendwie nicht traurig

Kannst du mir da nochmal auf die sprünge helfen?

14.05.2012, 19:32

Mystic

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Du musst eine lineare Funktion finden, welche dir beim Einssetzen von x=1,2,3,... gerade die Werte 1,2,...,p-2 liefert... Der letzte x-Wert (der dir gerade p-2 liefert) ist dann die Anzahl der Minus vor Wilson... Also dann noch ein Minus dazu für den Satz von Wilson...

18.05.2012, 12:51

Springpony

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Hei nochmal.
umgruppieren und Wilson sind kein Problem, aber das mit der Anzahl der Minus krieg ich nicht gebacken.

Sry, dass ich noch mal frage, aber ich verstehe nicht wieviele Faktoren das nun sind...
$\begin{eqnarray*} 1^2 * 3^2 * 5^2 *..*(p-2)^2 \end{eqnarray*}$

bei 7 sind es 3 Faktoren
bei 5 sind es 2 Faktoren

18.05.2012, 14:08

Mystic

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Zitat:

Original von Springpony
umgruppieren und Wilson sind kein Problem, aber das mit der Anzahl der Minus krieg ich nicht gebacken.

Sry, dass ich noch mal frage, aber ich verstehe nicht wieviele Faktoren das nun sind...
$\begin{eqnarray*} 1^2 * 3^2 * 5^2 *..*(p-2)^2 \end{eqnarray*}$

bei 7 sind es 3 Faktoren
bei 5 sind es 2 Faktoren

Ich weiß jetzt nicht, was ich noch mehr sagen soll, als ich oben schon gesagt habe, nämlich

Zitat:

Original von Springpony
Du musst eine lineare Funktion finden, welche dir beim Einsetzen von x=1,2,3,... gerade die Werte 1,2,...,p-2 liefert... Der letzte x-Wert (der dir gerade p-2 liefert) ist dann die Anzahl der Minus vor Wilson... Also dann noch ein Minus dazu für den Satz von Wilson...

Ich sehe auch keinerlei Anstrengungen von deiner Seite, diese lineare Funktion y=ax+b aufzustellen oder auch nur in irgendeiner Weise auf das einzugehen, was ich da geschrieben habe... geschockt

18.05.2012, 14:19

Springpony

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Ich habe gedacht, du könntest mir das vlt. noch anders erklären.

Ich habe deinen Hinweis schon aufgenommen aber ich habe es nicht geschafft ihn zu verwirklichen. Und verstehe ihn auch nicht.

y= ax + b
1= a+b
2=2a+b
3=3a+b
.
.
.
p-2=(x)*a+b

a= 1, b=0 erfüllt die oberen Gleichungen
x= p-2
Und das ist nicht die anzahl der minuszeichen vor Wilson.

18.05.2012, 14:27

Mystic

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Zitat:

Original von Springpony
y= ax + b
1= a+b
2=2a+b
3=3a+b

Das geht echt über meinen Verstand... geschockt

Wie in aller Welt kommst du auf die y-Werte 1,2,3,...? verwirrt

Schau doch deine Formel noch mal an, da fehlen doch die geraden Zahlen oder siehst du da welche???

18.05.2012, 14:34

Springpony

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> lineare Funktion y=ax+b
> Einsetzen von x=1,2,3,... gerade die Werte 1,2,...,p-2 liefert

Wenn du mir das nicht normel erklären kannst ohne mich anzupappen, weil ich es nicht verstehe - brauche ich die Hilfe nicht.

18.05.2012, 14:43

Mystic

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Ok, da hatte ich mich oben verschrieben, aber es ist leider bezeichnend, dass du kein bißchen mitdenkst, sonst hätte dir sofort auffallen müssen, dass da was nicht stimmen kann... unglücklich

Zum Ausgleich hier die Komplettlösung, ich habe ohnehin nicht mehr die Nerven und die Zeit, hier weiterzumachen:

1=a+b
3=2a+b

liefert als Lösung a=2, b=-1

2x-1=p-2

liefert dann als Lösung x=(p-1)/2... Ein Minus dazu für den Satz von Wilson also dann insgesamt die (p+1)/2 als Gesamtzahl der Minus... Normalerweise macht man aber soche Rechnungen eh im Kopf, aber das ist halt der formale Vorgang dazu...

18.05.2012, 15:31

Springpony

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Wenn ich es nicht verstehe, mir unsicher bin und die antwort fehlerhaft ist, ist es doch verständlich das ich mich nicht zurecht gefunden habe. Aber danke dass du die Trivialität des Bsp´s nochmals hervorrufst.

Trotzdem vielen dank für die Komplettlösung, ich habe sie verstanden und kann sie nachvollziehen. Und das ist das Wichtigtste.

18.05.2012, 16:10

Mystic

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Zitat:

Original von Springpony
Aber danke dass du die Trivialität des Bsp´s nochmals hervorrufst.

Nur zur Klarstellung: Die Aufgabe würde ich insgesamt (vor allem in Hinblick auf den Hinweis im Eingangsposting) zwar als leicht, aber doch nicht als trivial einstufen... Dass man allerdings die ungeraden natürlichen Zahlen üblicherweise durch die Funktionen 2k+1 oder 2k-1 "interpoliert" (je nachdem, ob man bei k=0 oder wie hier bei k=1 zu "zählen" anfängt) ist für mich, sorry, tatsächlich eine Trivialität, die man meist ohne Erwähnung voraussetzt...

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