Grundlegende Frage zur Grenzwertberechnung + eine Aufg

25.01.2007, 17:43

Christopher.Messina

Grundlegende Frage zur Grenzwertberechnung + eine Aufg

Ich hab mal eine generelle Frage zur Berechnung von Grenzwerten.
Wenn der Term vom Typ

$\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty }{\infty } \end{eqnarray*}$

ist, rechne ich mit L´Hospital. Aber was ist, wenn der Ausdruck z.B. vom Typ

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{x}{0} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\infty } \end{eqnarray*}$

ist?
Vieleicht könnte auch jemand diese Aufgabe lösen, ich scheitere wieder kläglich :-)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }(\frac{sinx}{x})^ \frac{1}{1-cosx} \end{eqnarray*}$

25.01.2007, 18:44

Dual Space

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RE: Grundlegende Frage zur Grenzwertberechnung + eine Aufg
Du kennst ja sicher noch andere Methoden als die L'Hospital'schen Regeln, um einen Grenzwert zu berechnen.

PS. Denk bitte auch dran, dass noch einige Voraussetzungen erfüllt sein müssen, um die Regeln von L'Hospital anwenden zu können.

Edit: Bzgl. der gestellten Aufgabe: Es gilt

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{1-cos x}}=\exp\left\{\frac{1}{1-cos x}\left(\log(\sin x)-\log x\right)\right\} \end{eqnarray*}$

Berechne also zunächst den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty}\frac{\log(\sin x)-\log x}{1-cos x} \end{eqnarray*}$

Edit 2: Bist du sicher, dass nicht der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ gesucht ist? verwirrt

25.01.2007, 19:16

Christopher.Messina

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Danke erstmal für die schnelle Antwort. Welche anderen Methoden meinst du?

Bei der Aufg verhaspel ich mich jedesmal, hättest du mal ne Lösung parat? Wäre super

25.01.2007, 19:30

Christopher.Messina

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Ja sorry, x soll gegen 0 gehen, verschrieben...
Ich hätte jetzt eine 1 im Angebot... richtig?

25.01.2007, 22:27

Christopher.Messina

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Was mache ich denn jetzt bei einem Term vom Typ

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{x}{0} \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\infty} \end{eqnarray*}$

25.01.2007, 22:29

therisen

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pm\infty} = 0 \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ musst du unterscheiden, ob du eine "positive" oder "negative" Null im Nenner hast (vgl. $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ )

EDIT: Ist natürlich nicht als "Gleichung" im üblichen Sinne zu verstehen.

25.01.2007, 22:36

pseudo-nym

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Zitat:

Original von Christopher.Messina
Was mache ich denn jetzt bei einem Term vom Typ

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{x}{0} \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\infty} \end{eqnarray*}$

Wenn x gegen irgendetwas streben lässt kann weder $\begin{eqnarray*} \frac{x}{0} \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \frac{x}{\infty} \end{eqnarray*}$ herauskommen.
Für die anderen beiden gilt.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{0}=\infty \\ \frac{1}{\infty}=0 \end{eqnarray*}$
(natürlich nur bei Grenzwertbildung)
therisen erinnert mich gerade daran, dass links- und rechtsseitiger Grenzwert sich manchmal leicht unterscheiden können Augenzwinkern

26.01.2007, 11:54

Christopher.Messina

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Vielen Dank für die schnellen Antworten, ihr seid Gold wert Gott

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