Matrizengleichung

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fbausc Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizengleichung
Bin ich mit der Auflösung der folgenden Matrizengleichung richtig vorgegangen?

A = B = C =











Ist das richtig?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Grausam falsch. Das solltest du schon schon aus der Schule wissen, dass man beide Seiten einer Gleichung derselben Operation unterwirft, und nicht nur Summanden in einer Gleichung.
fbausc Auf diesen Beitrag antworten »

Wie müsste denn die Lösung richtig aussehen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ergibt 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.
fbausc Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber ist der erste Schritt nicht erst die die Gleichung nach X auflösen und dann X bestimmen!? Oder erkenn ich die Aufgabe falsch?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du erkennst die Aufgabe falsch. Deshalb bringe ich dich auf den richtigen Weg.
 
 
fbausc Auf diesen Beitrag antworten »

Wie komm ich jetzt genau auf die 4 Gleichungssysteme mit den 4 Unbekannten?

Ich hab AX und XB zusammen multipliziert und bekomme





die 2 zusammen addiert kommt raus:



jetzt müsste ich das ja in ein linearen gleichungssystem umwandeln, ich erkenn nur nicht wie ich das jetzt am besten machen soll?

danke
Bahamas Auf diesen Beitrag antworten »

Wann gilt denn die Gleichheit zwischen den beiden Matrizen, die du nun dastehen hast? Dafür müssen genau vier Bedingungen erfüllt sein...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind nicht 4 Gleichungssysteme mit 4 Unbekannten sondern 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Eine Gleichung ist 6a+2c=12.
fbausc Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte ja auch Gleichungen, aber es kommt ein lineares Gleichungsystem raus, meinte ich?

Also:

6a + 0b + 2c + 0d = 12
0a + 6b + 0c + 2d = 4
2a + 0b + 6c + 0d = 4
0a + 2b + 0c + 6d = 4

also ein lineares Gleichungsystem? richtig!?

Jetzt meine Frage, ich kann AX + XB = C doch auch nach X umstellen!? Denn B ist ja 2 mal die Einheitsmatrix!? Und so rechnen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem einfachen Fall, ja. Aber dann bitte richtig rechnen, und nicht so unsinnig wie in deinem 1. Beitrag. Ich glaube immer noch, dass die standardmäßige Auflösung eines LGS sinnvoller ist als die Berechnung einer inversen Matrix, weil dieser Ansatz bei diesem Aufgabentyp nicht immer möglich ist.
Weichselbaum2 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht, weil wie schon richtig erkannt wurde XB=BX allgemein gilt und damit
AX+XB=(A+B)X

(A+B)X=C
A+B besitzt eine Inverse Matrix (A+B)^-1
(Erst die beidem Matrizen addieren und dann von der neuen Matrix die Inverse)

und somit die rein formale Lösung:
X=(A+B)^-1*C
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Weichselbaum2

Das geht natürlich nicht allgemein, weil im allgemeinen XB und BX verschieden sind, und weil im allgemeinen A+B keine Inverse besitzt. Nur hier in diesem Spezialfall geht es so
... und in allen Fällen, in denen XB=BX gilt und A+B invertierbar ist. Ein LGS aufstellen und lösen kann man immer.
fbausc Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis Weichselbaum2 hat recht.

B ist die Einheitmatrix mit dem Faktor 2 multipliziert.

Also kann man für B auch 2E schreiben! Eine Matrix * Einheitsmatrix ist jedoch kommutativ, was sonst nicht der Fall wäre.

AX+XB = C
AX+X2E = C

X2E ist gleich 2XE oder 2EX usw., also

AX+2EX = C
(A+2E)X = C
X = (A+2E)^-1*C
bzw.
X = (A+B)^-1*C
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben alle recht, denn in diesem Beispiel geht das so. Wenn du so rechnen möchtest, dann mach doch ... was kommt denn nun raus ... und wäre LGS nicht einfacher gewesen ?
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