Entscheide ob es sich um einen Untervekotrraum handelt

13.05.2012, 01:01

Peter900

Entscheide ob es sich um einen Untervekotrraum handelt

Meine Frage:
Untersuche welche der folgenden Teilmengen vom Q hoch 5 ein Untervektorraum ist!
U= ( x1,x2,x3,x4,x5) | x1+x2+x3+x4 = 0 .

Meine Ideen:
Erste Frage : Müsste das normal nicht Q hoch 4 heißen. Weil es ja nur 4 Variablen gibt. Das verwirrt mich etwas. Wäre schön wenn mir das einer erklären könnte..was damit gemeint ist.

13.05.2012, 01:06

1nstinct

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RE: Entscheide ob es sich um einen Untervekotrraum handelt
Aber es sind doch 5 Variablen, nämlich $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \end{eqnarray*}$ .

13.05.2012, 01:08

Peter900

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RE: Entscheide ob es sich um einen Untervekotrraum handelt
x1+x2+x3+x4 = 0 . Aber in der Gleichung sind doch nur 4 Variablen. Das verstehe ich nicht ;-)

13.05.2012, 01:13

1nstinct

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RE: Entscheide ob es sich um einen Untervekotrraum handelt
U ist eben so definiert, dass für ein beliebeiges Element $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \in U \end{eqnarray*}$ gelten muss: $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3+x_4=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x_5 \end{eqnarray*}$ interessiert dich gar nicht.
Falls $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3+x_4=0 \end{eqnarray*}$ kann das $\begin{eqnarray*} x_5 \end{eqnarray*}$ beliebig sein kann.

Edit: Wenn du deine 5 Variablen haben willst, kannst du von $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3+x_4+0*x_5=0 \end{eqnarray*}$ ausgehen.

13.05.2012, 01:17

Peter900

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Danke schön;-). Hast mir schon mal geholfen. Meine weiteren Überlegungen wären dann. U1 wäre ja erfüllt. Denn (0,0,0,0) erüfllt ja die Gleichung und damit kann der Untervekotrraum schon mal nicht leer sein oder ? Wie würde ich denn jetzt die Abgeschlossenheit der Addition zeigen ?

13.05.2012, 01:21

1nstinct

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Zitat:

Denn (0,0,0,0) erüfllt ja die Gleichung und damit kann der Untervekotrraum schon mal nicht leer sein

Du nimmst dir $\begin{eqnarray*} x,y\in U \end{eqnarray*}$ und schaust, ob $\begin{eqnarray*} x+y \in U \end{eqnarray*}$ ist.

13.05.2012, 01:26

Peter900

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Dann würde ich folgendes machen: x = x1+x2+x3+x4 und y= y1+y2+y3+y4
x+y ist demnach ( x1+y1) + ( x2+y2) + ( x3 + y3 ) + ( x4 + y4 ) = (x1+x2+x3+x4 ) + ( y1+y2+y3+y4) . Von der ersten Klammer weiß ich ja das sie 0 ergeben muss nach der Voraussetzung und für die zweite Klammer gilt das gleiche. Also muss auch die Addition 0 ergeben oder ?

13.05.2012, 01:31

1nstinct

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Leider nicht ganz richtig.

Ein Element aus U hat die Form $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \end{eqnarray*}$ (darum $\begin{eqnarray*} \mathbb Q^5 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

).

Daher muss du dir zwei Element aus U nehmen, z.B. $\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3+x_4=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_1+y_2+y_3+y_4=0 \end{eqnarray*}$ .

Nun rechne mal $\begin{eqnarray*} z=x+y \end{eqnarray*}$ .

13.05.2012, 01:47

Peter900

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x+y= (x1+y1)+(x2+y2)+(x3+y3)+(x4+y4)+(x5+y5) = (x1+x2+x3+x4)+(y1+y2+y3+y4) + (x5+y5) .Die ersten beiden Klammern wären doch null und x5undy5 kann ich ja freiwählen.

13.05.2012, 01:55

1nstinct

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Du meinst das Richtige, nur mit dem Aufschreiben klappts noch nicht so ganz smile

Du musst beachten, dass ein Element aus U IMMER die Form $\begin{eqnarray*} (z_1,z_2,z_3,z_4,z_5) \end{eqnarray*}$ hat.

Also $\begin{eqnarray*} z=x+y=(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,x_4+y_4,x_5+y_5) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist die Frage, ob $\begin{eqnarray*} z\in U \end{eqnarray*}$ ist.
Dafür müsste gelten: $\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)+(x_2+y_2)+(x_3+y_3)+(x_4+y_4)=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} (x_1+x_2+x_3+x_4)+(y_1+y_2+x_3+y_4)=0+0=0 \end{eqnarray*}$ .

13.05.2012, 02:05

Peter900

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Jetzt habe ich es verstanden. Danke ! Dann bleibt ja jetzt nur noch die Abgeschlossenheit der Multiplikation. Wie müsste ich denn jetzt dort beginnen ?

13.05.2012, 02:09

1nstinct

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Naja, die Definition solltest du kenne Augenzwinkern

Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ . Du musst untersuchen, ob $\begin{eqnarray*} \lambda * x \in U \end{eqnarray*}$ ist.

13.05.2012, 02:20

Peter900

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Ich nehme jetzt mal a Element k und Y Element U.
z = a x Y = ( a x y1, a x y2 , a x y3 , a x y4, a x y5 )
Frage : z Element U ?
Dann müsste gelten : ( a x y1 ) + ( a x y2 ) + ( a x y3 ) + ( a x y4 ) = 0 , also a x ( y1+y2+y3+y4 ) = a x 0 = 0

13.05.2012, 02:25

1nstinct

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Genau

Mach noch irgendwie kenntlich, dass du beim vorletzten Gleichheitszeichen benutzt, dass $\begin{eqnarray*} y\in U \end{eqnarray*}$ . Das Gleiche analog auch bei der Abgeschlossenheit der Addition ( in diesem Fall, dass $\begin{eqnarray*} x,y\in U \end{eqnarray*}$ ).

Und schreibe deine Schlussfolgerung noch auf Augenzwinkern

Gute Nacht Wink

13.05.2012, 02:27

Peter900

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Alles klar und großen Dank an dich. Hast mir echt geholfen. Gute Nacht !

13.05.2012, 22:36

Peter900

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Wie wäre es denn bei der Teilmenge: x1² = 2x2²= 3x3²= 4x4²=5x5²
U1 ist mir klar. Denn beim Nullvektor gilt die aussage ja. Dann wäre die Menge nicht leer. Aber wie gehe ich bei x+y vor ? Ich hab bisher ( x1+y1)² = 2( x2+y2)²= 3(x3+y3)²= 4 (x4+y4)² =5 (x5+y5)². Aber dann weiß ich nicht weiter....Könnte das jetzt auflösen. Aber ich weiß irgendwie nicht worauf es dann hinauslaufen soll..

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