Lineare Abbildung nachweisen

13.05.2012, 01:12

DrZee

Lineare Abbildung nachweisen

Meine Frage:
Ich soll zeigen oder widerlegen, dass es sich bei der folgenden Abbildung um eine lineare Abbildung handelt.

$\begin{eqnarray*} \textnormal{Sei}~f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3~\textnormal{mit} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, wie man zeigt, dass eine Abbildung linear ist, allerdings bin ich mir aufgrund der etwas ungewöhnlichen Art der Abbildung nicht ganz sicher. Folgendes habe ich mir überlegt:

$\begin{eqnarray*} \textnormal{Sei}~a \in \mathbb{R}~\textnormal{und}~v, v' \in \mathbb{R}^2~\textnormal{Zu zeigen:}~f(av+v') = af(v)+f(v') \end{eqnarray*}$

Für v und v' suche ich mir also Vektoren aus R^2. Da die Abbildung aber nur für drei Vektoren definiert ist, gibt es ja nicht so viele Möglichkeiten. Zum Beispiel die ersten beiden:

$\begin{eqnarray*} f(a\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}) = f(\begin{pmatrix}a+3\\2a+5\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Hier bin ich mir unsicher: Nur wenn ich a=0 wähle, ist die Abbildung überhaupt definiert. Daher gilt dann:

$\begin{eqnarray*} f(0\cdot\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}) = f(\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix} = 0 \cdot f(\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix})+f(\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Damit ist dann die gewünschte Form erreicht. Das müsste man dann noch analog für die anderen Kombinationen von Vektoren machen und am Ende würde vermutlich herauskommen, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt. Ist die Rechnung so richtig oder habe ich da einen Denkfehler drin?

13.05.2012, 01:42

Louis1991

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RE: Lineare Abbildung nachweisen
Moinsen DrZee,

Zitat:

Original von DrZee
Meine Frage:
Ich soll zeigen oder widerlegen, dass es sich bei der folgenden Abbildung um eine lineare Abbildung handelt.

$\begin{eqnarray*} \textnormal{Sei}~f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3~\textnormal{mit} \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Für v und v' suche ich mir also Vektoren aus R^2. Da die Abbildung aber nur für drei Vektoren definiert ist, gibt es ja nicht so viele Möglichkeiten.

Ich glaube eigentlich nicht, dass die Aufgabe so gemeint ist.
Der Aufgabensteller meinte vermutlich eher sowas:

$\begin{eqnarray*} \textnormal{Sei}~f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3~\textnormal{mit } a\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \mapsto a\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}, a\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix} \mapsto a\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}, a\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix} \mapsto a\begin{pmatrix}4\\0\\3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das war natürlich schlecht formuliert, weil wenn wir noch nicht wissen, ob f linear ist, oder nicht, dann ist die Definition, wie sie auf dem Blatt steht natürlich streng genommen so aufzufassen, wie du meintest (bzw. macht überhaupt keinen Sinn, weil die Abbildung für einige (überabzählbar viele) Elemente aus dem Urbildbereich nicht definiert wäre, ... also keine Abbildung)

Die gute Nachricht ist:

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ linear, dann gilt auch $\begin{eqnarray*} f(a v + bv')= a f(v)+bf(v') \end{eqnarray*}$ .

Selbst unter der Prämisse, dass die Abbildung nur auf diesen 3 Vektoren da oben definiert ist, kannst du dir daher, indem du $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der anderen beiden darstellst damit einen einfachen Widerspruch herleiten.

Viel Spaß und Erfolg dabei,

lg kai Wink

13.05.2012, 18:46

Totto-Ge

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RE: Lineare Abbildung nachweisen
Für eine lin. Abb. $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij}) \end{eqnarray*}$ sollte die erste (+ alle anderen) Zeile(n)
$\begin{eqnarray*} (a_{11} ~ a_{12}) \end{eqnarray*}$ lösbar sein ...

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cc|c} a_{11} & a_{12} \\ \hline 1 & 2 &1 \\ 3 & 5 & -1 \\ -1 &-1 &4 \end{array} \end{eqnarray*}$

17.05.2012, 20:44

DrZee

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Hallo Kai,

vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Ich wollte mit einer Rückmeldung warten, bis ich das korrigierte Übungsblatt zurück habe.

Die Aufgabe war tatsächlich so gemeint, denn laut meinem Tutor genügt es, eine lineare Abbildung über die Basis eines Vektorraums zu definieren. In diesem Fall wären zum Beispiel die ersten zwei Vektoren eine Basis des R^2, wodurch die Abbildung dann auch für jeden Vektor aus R^2 definiert ist.

Durch deinen letzten Tipp konnte ich dann aber trotzdem noch einen Widerspruch herleiten, sodass ich einen Teil der Punkte bekommen habe. Freude

Viele Grüße
DrZee

19.05.2012, 13:46

Louis1991

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Zitat:

Original von DrZee
Die Aufgabe war tatsächlich so gemeint, denn laut meinem Tutor genügt es, eine lineare Abbildung über die Basis eines Vektorraums zu definieren. In diesem Fall wären zum Beispiel die ersten zwei Vektoren eine Basis des R^2, wodurch die Abbildung dann auch für jeden Vektor aus R^2 definiert ist.

Hallo nochmal,

Und das ist natürlich richtig (wie ich auch versucht haben mit dem "ab -> av" zu erklären). Aber wir haben ja gerade festgestellt, dass deine Abbildung gar keine lineare Abbildung war, es also insbesondere nicht reichen würde sie nur auf einer Basis zu definieren. Verstehst du die Zwickmühle? Augenzwinkern

lg
kai

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