Tschebeyscheff-Integral

25.01.2007, 19:21

kingskid

Tschebeyscheff-Integral

guten abend!
hab mal wieder eine frage... und zwar betrachten wir
$\begin{eqnarray*} I(f) = \int_{-1}^{1}~ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} f(x)~dx \end{eqnarray*}$
Man soll nun die Gewichte folgender Quadraturformel berechnen:
$\begin{eqnarray*} I_2(f) = w_0 f(-1) + w_1 f(0) + w_2 f(1) \end{eqnarray*}$ , so dass alle $\begin{eqnarray*} p \in \Pi_2 \end{eqnarray*}$ exakt integriert werden.

hab im skript das hier gefunden:
$\begin{eqnarray*} I_n(f) = \frac{\pi}{n+1} ( f(x_0) + f(x_1) + ... + f(x_n)) \end{eqnarray*}$

das würde doch hier bedeuten:
$\begin{eqnarray*} I_2(f) = \frac{\pi}{3} ( f(-1)+f(0)+f(1)) \end{eqnarray*}$ oder?

dummerweise hab ich versucht das "per hand nachzurechnen" und komm auf folgendes LGS:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} w = \begin{pmatrix} \pi \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und dann bekomm ich raus
$\begin{eqnarray*} w_0=w_2=\frac{\pi}{4}, w_1=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

was hab ich falsch gemacht?

edit: also als Basis hab ich $\begin{eqnarray*} G=span\{T_0=1,T_1(x)=x,T_2=2x^2-1\} \end{eqnarray*}$ genommen.
edit: w_1 verbessert

25.01.2007, 19:40

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RE: Tschebeyscheff-Integral
Schreibfehler $\begin{eqnarray*} w_1=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Ansonsten sieht das aber richtig aus. Woher ist denn die Formel:

Zitat:

Original von kingskid
hab im skript das hier gefunden:
$\begin{eqnarray*} I_n(f) = \frac{\pi}{n+1} ( f(x_0) + f(x_1) + ... + f(x_n)) \end{eqnarray*}$

Die kann ja nur für ganz bestimmte $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ gelten - und offensichtlich nicht für diese hier, sonst müsste es ja stimmen...

25.01.2007, 20:12

kingskid

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vielen dank, dann bin ich ja beruhigt smile

ahso, du hast mal wieder recht, dann gilt die formel wohl nur, wenn die x_k die nullstellen von T_(n+1) sind...

die formel und die gewichte sind nur als ein bsp aufgeführt, keine herleitung.

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