Extremwert: Papier 25x25 zu Pyramidennetz -> max Vol

Neue Frage »

14.05.2012, 18:21	keinBlitzableiter	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwert: Papier 25x25 zu Pyramidennetz -> max Vol Meine Frage: meine Aufgabe ist es, aus einem quadratischen Blatt Papier s=25, 4 kongruente, gleichschenkliche Dreiecke deren Grundlinie der Umfang des Blattes sind, auszuschneiden, d.h. das Netz einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche bleibt übrig. Die Grundkante a soll so gewählt werden, dass die Pyramide das maximale Volumen hat Meine Ideen: V=(Gh)/3=(a²h)/3 da die Diagonale vom Blatt = $\begin{eqnarray} \sqrt{1250}<br /> -> ((\sqrt(1250)-a)/2)²-(a/2)²=h²<br /> -> V(a)= a² * \sqrt(1250-2\sqrt(1250)a)1/6<br /> \end{eqnarray}$ wobei ich 1/6 weglassen kann da f'(x) und f(xa) die gleichen lokalen Extremstellen haben $\begin{eqnarray} -> V'(a)= 50/ \sqrt(1250-2\sqrt(1250)a) \end{eqnarray*}$ wenn ich das gleich Null setze komme ich nicht weiter und nehme an dass ich mich schon früher verrechnet hab... =( Bitte um Rat! Danke
14.05.2012, 18:41	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: extremwert: Papier 25x25 zu Pyramitennetz -> max Vol Bei dieser Gleichung komme ich etwas mit den Klammern und Wurzeln durcheinander: $\begin{eqnarray} ((\sqrt(1250)-a)/2)²-(a/2)²=h² \end{eqnarray}$ Und diese Formel kann ich nun nicht mehr nachvollziehen: $\begin{eqnarray} -> V(a)= a² \sqrt(1250-2\sqrt(1250)a)1/6 \end{eqnarray*}$ Wo ist welche Wurzel? Wo kommt das 1/6 her?
14.05.2012, 18:57	keinblitzableiter	Auf diesen Beitrag antworten »
ersteres soll nur nach dem Satz des Pythagoras h² ausdrücken, das lange erste soll ein Bruch sein [mit (wurzel1250 - a) im zähler und 2 im nenner] welcher alserganzer quadriert wird. Danach hab ich $\begin{eqnarray} h=[\sqrt(1250-2\sqrt(1250)a]/2 \end{eqnarray}$ gesetzt und eingesetzt in (a²*h)/3=V
14.05.2012, 19:12	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke, du solltest die Gleichungen zunächst so weit wie möglich vereinfachen, bevor du etwas einsetzt. Warum ziehst du nicht aus 1250 die Wurzel? Es bleiben $\begin{eqnarray} 25\sqrt2 \end{eqnarray}$ Auch den langen Bruch halte ich für ungünstig. Bedenke: Du sollst noch ableiten. Statt alles zu halbieren solltest du lieber mit $\begin{eqnarray} \frac{a^2}{4} \end{eqnarray}$ arbeiten, wenn du das halbe a quadrierst. Irgendwie gefällt mir auch dieser Ausdruch nicht: $\begin{eqnarray} h=[\sqrt(1250-2\sqrt(1250)a]/2 \end{eqnarray}$ Wenn ich das richtig sehe, bekommst du eine negative Höhe raus, sobald a größer als 0,5 ist. Zur Wurzeldarstellung: Wenn du einen längeren Ausdruck in die Wurzel schreiben willst, solltest du es in geschweifte Klammern setzen: \sqrt{abc ....xyz}
14.05.2012, 19:29	keinblitzableiter	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke! ich hab leider schwierigkeiten mit umformen von potenzen und wurzeln etc... Wie würdest du denn das Problem angehen, bzw h durch a ausdrücken damit es richtig ist?
14.05.2012, 19:40	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich denke, mit V(a) zu arbeiten macht Sinn. Vermutlich ist V(h) auch nicht einfacher, denn den Pythagoras müssen wir so oder so einbinden. Vielleicht sollten wir systematisch von vorne anfangen. Wir haben: $\begin{eqnarray} d = \sqrt{1250} = 25\sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d = 2h_a + a \Rightarrow 2 h_a = 25\sqrt{2} - a \Rightarrow h_a = 12,5\sqrt{2} - \frac{a}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_k = \sqrt{h_a^2 - \frac{a^2}{4}} \end{eqnarray}$ Und somit: $\begin{eqnarray} h_k = \sqrt{\left( 12,5\sqrt{2} - \frac{a}{2} \right) ^2 - \frac{a^2}{4}} \end{eqnarray}$ Das muss jetzt vereinfacht werden. Mache mir einen Vorschlag.
Anzeige

14.05.2012, 20:31	keinblitzableiter	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab draus $\begin{eqnarray} \sqrt{12,5\sqrt(2)(12,5\sqrt(2)+a)}<br /> \end{eqnarray*}$ gemacht, auch wenn es nicht viel vereinfacht ist(und danke für die Hilfe!!! )
14.05.2012, 20:35	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, das stimmt nicht. Kann es sein, dass du die binonischen Formeln nicht mehr so drauf hast? (a - b)² = a² - 2ab + b² Das musst du für die Klammer anwenden.
14.05.2012, 20:42	keinblitzableiter	Auf diesen Beitrag antworten »
oh hab mich vertan: $\begin{eqnarray} <br /> \sqrt{12,5\sqrt(2)(12,5\sqrt(2)+a)}<br /> \end{eqnarray*}$ das ist eigentlich das, was rauskommt wenn ich die Klammer ausrechne und a²/4 davon abziehe!
14.05.2012, 20:45	keinblitzableiter	Auf diesen Beitrag antworten »
ach mist wieder das gleiche, -a!!!!! sry muss mich schnell registrieren zum editieren
14.05.2012, 20:50	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt leider nicht. $\begin{eqnarray} \left( 12,5\sqrt{2} - \frac{a}{2} \right) ^2 = (12,5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 12,5\sqrt{2}\cdot a + \left( \frac{a}{2} \right) ^2 = 312,5 - 12,5\sqrt{2} \cdot a + \frac{a^2}{4} \end{eqnarray}$
14.05.2012, 21:08	keinblitzableiter	Auf diesen Beitrag antworten »
sollte der mittlere Teil nicht lauten $\begin{eqnarray} -212,5/sqrt(2)(a/2)?? <img src="images2/smilies/frown2.gif" border="0" alt="unglücklich" title="unglücklich" /> <br /> \end{eqnarray}$
14.05.2012, 21:23	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da habe ich in der mittleren Darstellung einmal das /2 vergessen, das Ergebnis war richtig dargestellt. So muss es lauten: $\begin{eqnarray} \left( 12,5\sqrt{2} - \frac{a}{2} \right) ^2 = (12,5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 12,5\sqrt{2}\cdot \color{red} \frac{a}{2} \color{black}+ \left( \frac{a}{2} \right) ^2 = 312,5 - 12,5\sqrt{2} \cdot a+ \frac{a^2}{4} \end{eqnarray}$
14.05.2012, 21:54	LarazumQuadrat	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das denn nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray} \sqrt{12,5\sqrt2(12,5\sqrt(2)-a)}<br /> \end{eqnarray*}$ also wegen a²/4 und -a²/4
14.05.2012, 22:04	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, jetzt stimmt es. Vorher stand in der Klammer + a, da konnt ich nicht nachvollziehen, wie du drauf kamst. Es war aber wohl nur ein Tippfehler und kein Problem mit den Binomis. Ich würde trotzdem vorschlagen, dass du die Klammer auflöst. Die Gleichung sieht dann so aus: $\begin{eqnarray} h_k = \sqrt{ 312,5 - 12,5\sqrt{2} \cdot a } \end{eqnarray}$ Und das kann dann in die Volumenformel eingesetzt werden.
14.05.2012, 22:15	LarazumQuadrat	Auf diesen Beitrag antworten »
ok toll Vielen Dank!!
14.05.2012, 22:16	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.

Neue Frage »

Antworten »

Extremwert: Papier 25x25 zu Pyramidennetz -> max Vol

Verwandte Themen