Wahrscheinlichkeit - Sender sendet zufällig binäre Zeichen

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Youssarian Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit - Sender sendet zufällig binäre Zeichen
Hallo MatheBoard,

ich bräuchte bitte hilfe bei einer Aufgabe. Das Problem ist, dass ich mit den zur verfügung stehenden Materialien nicht mal einen Ansatz finde.
Für euch wird diese Aufgabe wahrscheinlich mehr als nur einfach sein, aber ich möchte es gerne verstehen und darum bitte keine Komplettlösung.

Hier die Aufgabe:
Ein Sender sendet zufällig binäre Zeichen. Die Null wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 gesendet, die Eins mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer gesendeten Zeichenkette von 10 Zeichen Länge.

a) genau 3 Einsen auftreten
b) mehr als 4 Nullen auftreten
c) dass bei einer gesendeten Zeichenkette mit 1000 Zeichen die Anzahl der Einsen zwischen 600 und 650 liegt.

Schonmal vielen Dank

Gruß
Youssarian
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

gut dann gebe ich mal einen Tipp: Binomialverteilung.
Jetzt die Frage: Warum könnte man sie unter Umständen anwenden?

Mit freundlichen Grüßen.
 
 
Youssarian Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

vielen dank für den Hinweis. Und die Binomialverteilung kann man, wenn ich sie richtig verstanden hab, nur für a) und eingeschränkt für b) verwenden. Hier mal meine Lösungen.

a) Hier hoffe ich es richtig gemacht zu haben
[latex] f(x)=P(x)= \begin{pmatrix} 10 \\ 3  \end{pmatrix}  (\frac{3}{5})^3(\frac{2}{5})^7=0,04267[/latex]

b) Die WK wird kleiner je mehr Nullen auftreten sollen also müsste das Ergebnis zwischen

[latex] f(x)=P(x)= \begin{pmatrix} 10 \\ 4  \end{pmatrix}  (\frac{2}{5})^4(\frac{3}{5})^6 =0,0251[/latex]
und
[latex] f(x)=P(x)= \begin{pmatrix} 10 \\ 10  \end{pmatrix}  (\frac{2}{5})^10 * 1 = 0,000105[/latex]

liegen. ( Das in der Zeile drüber soll Hoch 10 bedeuten, bekomm es aber mit Latex nicht hin)

c) Hier bekomm ich nur nen "Math Error" auf dem Taschenrechner wenn ich versuche [latex]\begin{pmatrix} 1000 \\ 600  \end{pmatrix}  [/latex] einzugeben. Irgendwie hab ichs anscheinend doch noch nicht wirklich ganz verstanden

Gruß
Youssarian
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die a) ist richtig. Freude

Als Vorbereitung für die b)

[latex]x_1[/latex] = Anzahl der Einsen.

Die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Einsen:[latex] P(x_1=3)[/latex]


Bei der b) ist die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeit für mehr als 4 Nullen auszurechnen.

[latex]x_2[/latex] = Anzahl der Nullen.

[latex]P(x_2>4)[/latex]

Welche Einzelwahrscheinlichkeiten muss man denn ausrechnen um zu erfahren, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist für mehr als vier Nullenbei zehn Stellen. Versuch das mal in der gleichen Schreibweise wie oben hinzuschreiben. Ich habe schon mal das Grundgerüst hingeschrieben. Du musst Einzelwahrscheinlichkeiten addieren.

[latex]P(x_2=...)+P(x_2=...)+P(x_2=...)+...[/latex]

Zur c) kommen wir später.

Mit freundlichen Grüßen.
Youssarian Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

Bei Aufgabe b) nur noch wie folgt die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren? (Entschuldige die komische Schriebweise, aber sonst wird da n Stück abgeschnitten)

[latex]P(x_2>4)=P(x_2=4)=0,251 + P(x_2=5)=0,201  + P(x_2=6)=0,111 <br />
+ P(x_2=7)=0,0425 + P(x_2=8)=0,011 + P(x_2=9)=0,0016 + P(x_2=10)=0,000105 = 0,618 [/latex]


Ist die Schreibweise so überhaupt richtig?

Bei c) komm ich immer noch nicht auf den Trichter.

Gruß
Youssarian
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

b)
Das ist nicht schlecht. Freude Du musst nur beachten, dass [latex]x_2 > 4[/latex] ist. Welche Wahrscheinlichkeit musst du weglassen? Die Schreibweise ist in der Tat nicht ganz richtig. Eher:[latex] P(x=5) + P(x=6)+...... \ = \ 0,.... + 0,.....[/latex]

c) Aufgrund des großen n (=1000) und k (=600) ist es am Besten die Binomialverteilung durch die Normalverteilung zu approximieren. Hast du ja sellber gesehen (Math Error).Dafür braucht man den Erwartungswert der Binomialverteilung und die Varianz der Binomialverteilung. Die würde ich erst mal erechnen. Danach geht es zur Approximation.

Bis dann,
Youssarian Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

mein Fehler. Da sollte [latex]P=(x_2\ge4)[/latex] hin. Zwar steht in der Aufgabenstellung größer als, aber gemeint ist bei ihm immer größer gleich.

Zu c). Habs mir Notiert und werd mich erstmal dran versuchen. Meld mich dann morgen mit meinen Ansätzen.

Trotzdem schonmal vielen dank für die Hilfe.

Gruß
Youssarian
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Bis morgen. Wink
Youssarian Auf diesen Beitrag antworten »

So hier mal mein Lösungsansatz für c)

[latex]P(x_1 \le X \le x_2) =[Phi]\frac{(x_2+0,5)-[My]}{[Sigma]}-[Phi]\frac{(x_1+0,5)-[My]}{[Sigma]}[/latex]


[latex]P(x_1 \le X \le x_2) =[Phi]\frac{(650+0,5)-600}{[4\sqrt[2]{15}]} - [Phi]\frac{(600+0,5)-600}{[4\sqrt[2]{15}]} = 0,5114[/latex]

Ich weiß leider nicht wie ich das Griechische Alphabet hier schreiben kann, krieg da immer irgendwas raus.

Gruß
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

der Lösungsansatz ist super Freude . Nur hast du im letzten Schritt irgendetwas vertauscht. Das was du richtiger Weise abziehen solltest hast du als Ergebnis hingeschrieben. Zumindest hast du schon mal richtig die Tabelle benutzt und die Formel ist perfekt.

[latex]\phi(3,259)-\phi(0,0322)[/latex]

Nur noch ein ganz kleiner Schritt zur richtigen Lösung.

Falls es dich interessiert, der Latex-Code für [latex]\phi [/latex] ist \phi. Aber die Darstellung ist schon sehr schön gelungen.

Mit freundlichen Grüßen.
Youssarian Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist auch n Feher. Hab da [latex]x_1 -0,5[/latex] stehen und als Zwischenergebnis [latex]=\phi  (3,26) - \phi (-0,032)[/latex]

Ich schau mir das aber morgen in aller Ruhe an. Brauch doch noch sehr lange bis da überhaupt irgendwas verwertbaren zustande kommt.

Gruß

P.S. mit Latex zu arbeiten ist echt ungewohnt. Mach das hier grade zum ersten mal und komm oft durcheinander.
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah! Dann hast du nur die Vorzeichen vertauscht. Das hatte ich mir auch irgendwie gedacht. Das kann wirklich jedem mal passieren, bzw. das ist jedem schon mal passiert.

Bis morgen und gute Nacht.
Youssarian Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

also bedeute "In Standardeinheiten umgerechnete Intervallgrenze" nichts anderes als Betrag ?

Wenn dem so ist bekomm ich das raus:

[latex]&& P(x_1 \le X \le x_2)= \phi(3,26) - \phi(0,032)  = 0,9994 - 0,5120 = 0,487[/latex]


Aber neben der Tabelle steht

[latex]\phi(-0,032)=1-\phi(0,032) = 1-0,5120 [/latex] (auf die lineare Interpolation hab ich mal verzichtet)

Nun alles eingesetzt und ich bekomm

[latex]&& P(x_1 \le X \le x_2)= \phi(3,26) - \phi(-0,032)  = 0,9994 - (1-0,5120) = 0,5114[/latex]

Natürlich seh ich die beiden Minuszeichen, aber was wäre den nu richtig? Bin jetzt doch ganz schön verwirrt.

Gruß
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

du schreibst.

Zitat:
[latex]&& P(x_1 \le X \le x_2)= \phi(3,26) - \phi(0,032)  = 0,9994 - 0,5120 = 0,487[/latex]


genau so habe ich auch gerechnet. Freude Freude


Zitat:
Aber neben der Tabelle steht

[latex]\phi(-0,032)=1-\phi(0,032) = 1-0,5120 [/latex] (auf die lineare Interpolation hab ich mal verzichtet)


Die Rechnung und die Interpretation der Tabelle ist richtig. Nur wie kommst du auf [latex]\phi(-0,032)[/latex]?

Der insgesamt ist Ausdruck ist zwar negativ, aber in der Klammer ist er ja positiv: [latex]- \phi \Bigg( \frac{(600+0,5)-600}{[4\sqrt[2]{15}]} \Bigg) = - \phi \Bigg( \frac{\textcolor{red}{+}0,5}{[4\sqrt[2]{15}]} \Bigg)  [/latex]

Wenn man mit der Binomialverteilung rechnet (ohne Approximation) kommt raus:

[latex]P(x_1 \le X \le x_2)=P(600 \le X \le 650)= 0,99948-0,51201=0,48747[/latex]

Also genau das was du ausgerechnet hast. Der Feiertag kann Feiertag bleiben.
Wenn noch was unklar ist, bitte.

Mit freundlichen Grüßen Wink
Youssarian Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

der Ausdruck ist bei mir innerhalb der Klammern negativ. Nochmal die Formal mit der ich gerechnet hab

[latex]P(x_1 \le X \le x_2)=\phi( \frac{(x_2+0,5)-600}{\sigma} ) - \phi( \frac{(x_1-0,5)-600}{\sigma} ) [/latex]

[latex]P(x_1 \le X \le x_2)=\phi( \frac{(650+0,5)-600}{\  4* \sqrt{15}  } ) - \phi( \frac{(600-0,5)-600}{\  4* \sqrt{15}  } ) [/latex]


und da bekomm ich einen negativen Ausdruck hin den [latex](600-0,5)-600=-0,5[/latex].

Ist die Formel evtl. falsch?

Gruß
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Formel

[latex]P(x_1 \le X \le x_2)=\phi( \frac{(650+0,5)-600}{\  4* \sqrt{15}  } ) - \phi( \frac{(600-0,5)-600}{\  4* \sqrt{15}  } )[/latex]

ist falsch.

Du hattest ja schon die richtige Formel hingeschrieben:

[latex]P(x_1 \le X \le x_2) =[Phi]\frac{(650+0,5)-600}{[4\sqrt[2]{15}]} - [Phi]\frac{(600+0,5)-600}{[4\sqrt[2]{15}]}[/latex]

Bleib einfach bei deiner richtigen Formel.

Vielleicht hast du die Formel verwechselt mit:

[latex]P( X = x)=\phi \Bigg( \frac{x+0,5-n \cdot p}{\sqrt{np(1-p)} } \Bigg)  - \phi \Bigg( \frac{(x-0,5)-np}{\sqrt{np(1-p)} } \Bigg) [/latex]

Das ist aber die Formel für die Einzelwahrscheinlichkeit.

Mit freundlichen Grüßen. Wink
Youssarian Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

habs mir mal dazugeschrieben, dass die Formel falsch ist.
Denke jetzt hab ich ne grobe Vorstellung wie es funktioniert und werd mich an den anderen Aufgaben versuchen. Lesen1

Und vielen Dank für deine Hilfe, hast mir da echt ungemein geholfen.

Mit freundlichen Grüßen
Kasen75 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich glaube das du ne ziemlich genaue Vorstellung jetzt hast wie es funktioniert. Ich bin da ablsolut optimistich. Freude Wünsche noch weiter gutes Gelingen.

Mit freundlichen Grüßen
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