Verschoben! Trigonometrie - Aufgaben |
| 16.05.2012, 13:37 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Trigonometrie - Aufgaben hier die Aufgaben. 1) Von einem regelmäßigen Fünfeck ist die Seitenkante s= 7,63m gegeben. Berechne den Umkreisradius und die Fläche! 2) Von einem regelmäßigen Zehneck kennt man den Umkreisradius r= 8,64m. Berechne den Umfang und den Flächeninhalt. 3) Von einer Raute sind der Winkel a= 48,6° und die vom Punkt A ausgehende Diagonale e= 64,7m gegeben. Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt. Erste Aufgabe, mein Plan: Fläche von einem Fünfeck ? Umkreisradius ? Formeln von Wiki sind mir nicht so schlüssig. lg |
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| 16.05.2012, 13:43 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sollte diese Aufgabe nicht unter Geometrie stehen? zu 1) Du kannst das Fünfeck in fünf gleichschenklige Dreiecke unterteilen. Versuch einmal, das aufzuzeichnen. Den Winkel in der Mitte zu bestimmen, dürfte kein Problem sein, oder? Die beiden gleichen Seinte(die nicht s sind) sind jeweils Umkreisradien zu 2) läuft analog zu 1), nur in umgekehrter Richtung zu 3) Winkel und Diagonale halbieren und schon befindest du dich in einem rechtwinkligen Dreieck 
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| 16.05.2012, 13:49 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die beiden gleichen Seiten sind (mkreisradien ? Wie rechne ich nun aber den Umkreisradius ? lg |
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| 16.05.2012, 13:53 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du die Seitenkante und den Winkel halbierst, hast du ein rechtwinkliges Dreieck, der Rest ist pure Trigonometrie |
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| 16.05.2012, 13:59 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier eine verallgemeinerte Formel für den Umkreisradius |
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| 16.05.2012, 14:00 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bin leider nicht so gut in Trigonometrie. Ich habe nun 5 gleischenklige Dreiecke und einen Winkel, der gegenüber liegt mit jeweils 72 °. Ich rechne nun den Radius: r = a / 2 * sin(alpha) das * 5. ich weiß aber weder was a noch was sin(alpha) ist. Fläche: A = a * ha /2 das * 5. a und ha fehlen mir. lg |
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| 16.05.2012, 14:05 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Teil das gleichschenklige in zwei rechtwinklige Dreiecke(an der Höhe ha halbieren). Dort hast du dann eine Seite, den gegenüberliegenden Winkel und den rechten Winkel. Der Umkreisradius ist die Hypotenuse
Oder du verwendest die Formel von vorhin. Da kommst du ohne Trigonometrie aus |
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| 16.05.2012, 14:21 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe die Seite a = 7,63 m Wenn ich ein gleichschenkliges teile, habe ich ein rechtwinklige Dreiecke mit einer Seite a = a/2 Einem Winkel = 72% /2 Ur = die Hyptenuse, warum eigentlich ? = sin(alpha) = g / a a = die hypotenuse von unserem rechtwinklige Dreiecke aber die Ankathete von unserem Winkel a = (72/2) Dadurch erhalten wir radius. Diesen * 5 ? oder mal 10 ? lg |
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| 16.05.2012, 16:25 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Flächeninhalt: Umkreisradius: was hat das zu bedeuten ? Warum ? Weshalb ? Wie ? Laut wikipedia sind das die Formeln, ich kann sie nicht zuordnen. lg |
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| 16.05.2012, 18:34 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Umkreisradius des Fünfecks muss die Hypotenuse sein, weil sie die Winkel des Fünfecks halbiert (dort, wo sich die Winkelhalbierenden schneiden, ist der Umkreismittelpunkt: von dort aus zu einer der Ecken, egal welcher, muss der Umkreisradius verlaufen))
Nein, die Ankathete zu unserem Winkel ist die zweite Linie, die von ihm ausgeht, also die Höhe des glschkl. Dreiecks Wenn du über den Sinus von 36 die Hypotenuse berechnet hast, kennst du den Radius, du brauchst nicht mehr mit 5 zu multiplizieren 
Welches Ergebnis bekommst du heraus? Mein Ergebnis ist ca 6,5(habe es in weiß geschrieben, erst rechnen, dann kontrollieren...)
Zu deinen Formeln: diese Formeln sind von Winkeln unabhängig und in ihrer Form einfach hinzunehmen. Wenn du Lust hast, kannst du dir die Bewe ise ja auf Wikipedia ansehen, für Verständlichkeit garantiere ich nicht...
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| 16.05.2012, 22:22 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, Ich habe noch Verständnisprobleme. Woher hast du die 54° ? Wo oder was ist s ? s ist gegeben mit 7,63m ................................................................... Wenn ich das rechtwinklige Dreiecke FGB nehme ist der eingeschlossene Winkel von 90° = alpha, beta 54° und gamma 36°. vom Alpha aus gesehen ist BF = Gegenkathete, GB = Ankathete und somit FG die Hypotenuse von Beta aus gesehen ist GB = Ankathete, GF = Gegenkathete, BF = Hypotenuse. von Gamma aus gesehen ist GB = Gegenkathete, FG = Ankathete, BF = Hypotenuse. stimmt das so ? ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Diese Formeln sind einfach so ? Warum rechnet man zb das unter der Wurzel nicht immer schon aus und nimmt die Zahl, welche ja immer gleich ist, wenn die Zahlen in der Wurzel immer gleich bleiben ? Verstehe ich nicht. ----------------------------------------------------------------------------------------------- Gibt es für die Fläche nicht auch andere Möglichkeiten als diese so auszurechnen ? lg |
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| 16.05.2012, 22:32 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1) Die 54° sind die Hälfte des Kantenwinkels (ist bei allen regelmäßigen Fünfecken so) 2)Mein Fehler! 
hier müsste stehen3) Leider Nein FB ist in jedem Fall die Hypotenuse (weil sie dem rechten Winkel gegenüberliegt...per definitionem, sorry) Es muss also heißen : für alpha existieren Gegenkatheten und Ankatheten nicht ansonsten völlig richtig 
4) Die Zahlen unter der Wurzel könnte man schon ausrechnen, hat man wohl aus ästhetischen Gründen so belassen... eine Wurzel sieht einfach schöner aus als so ne Kommazahl Die Fläche könnte man in der Theorie auch über die Fläche der gleichschenkeligen Dreiecke berechnen, wäre aber mühselige Kleinarbeit, mit der wiki-Formel geht es viel einfacher |
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| 20.05.2012, 12:28 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir fehlt also das klein a, damit ich die Formel für r und A ausrechnen kann. Nun, weiß ich immer noch nicht, wie ich an klein a komme. lg |
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| 20.05.2012, 12:44 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für die Wikipedia-Formeln ist a die Kantenlänge, also in deinem Fall s
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| 20.05.2012, 14:41 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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Einfach statt a das s einsetzen. Dann hätte ich mich doch aber die ganze Arbeit davor sparen können ? lg |
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| 20.05.2012, 16:17 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um das Ergebis zu bekommen, ja 
Aber so hast du wohl etwas dazugelernt... Lg |
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| 20.05.2012, 16:26 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Falls ihr die nächsten Aufgaben in Angriff nehmen wollt: Bitte für jede Aufgabe einen eigenen Thread. Bei der Länge des Threads für dieses eine Aufgabe ist dies wirklich gerechtfertigt. Danke.
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| 20.05.2012, 16:35 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kein Problem, sulo
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| 20.05.2012, 20:07 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, ja natürlich habe ich was gelernt. Großes Thx. Entschuldige, dass ich nur sporadisch antworte. Bin wiedermal krank .. hoffe morgen oder übermorgen, können wir die nächsten Aufgaben aufnehmen 
lg Ps. Schönen Abend. 
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| 20.05.2012, 20:08 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gute Besserung
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| 23.05.2012, 20:46 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bemerke gerade das mir noch A fehlt. Desweiteren habe ich Verständnisprobleme woher ich die 106° bzw. 53° bzw. 36° herhabe. lg |
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| 23.05.2012, 21:14 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es sind wohl 108° und 54° gemeint... Die Kantenwinkel in regelmäßigen Fünfecken sind per Definition 108° groß, die Hälfte, die wir in unserem Dreieck verwenden beträgt demnach 54°(die Hälfte deshalb, weil der Umkreismittelpunkt der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ist). Die Innenwinkel betragen in der Summe 360°(irgendwie logisch, es ist ein Kreis oder Vollwinkel). Durch die fünf Dreiecke dividiert, die alle gleich sind(fünf gleichschenklige Dreiecke mit Schenkel r), ergibt das 72°. Wir haben das Dreieck an der Höhe geteilt(weil es gleichschenklig ist, ist die Höhe gleichzeitig Winkelhalbierende): 36° Die Flächenformel kann man aus den Formeln für die einzelnen Dreiecke herleiten: tan 54°*a/2 entspricht der Höhe des Dreiecks a/2*tan54°*a/2 ist die Fläche des Dreiecks. Das Ganze mal 5 und fertig. Die hässlcihe Kommazahl um 1,72 ist ein Viertel der Wurzel, die in der ursprünglichen Formel angegeben ist. Lg
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| 24.05.2012, 07:10 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank! Ich werde am Wochenende beides ausrechnen. Vorerst habe ich es verstanden.
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| 28.05.2012, 19:16 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist bei dieser Formel die Seitenanzahl ? --------------------------------------------------------------------------------- Ich habe zweimal den Radius ausgerechnet und beidemal 12,98 erhalten. Deine Lösung ist 6,5. ---------------------------------------------------------------------------------------------- A Welche Flächeneinheit ? oder gibts dies hier nicht ? lg 
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| 28.05.2012, 19:36 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Seitenanzahl ist hier fünf, weil es ein Fünfeck ist Du hast vergessen, die Seitenkante zu halbieren. Dein Dreieck ist das halbe gleichschenklige, also nur die halbe Seitenkante nehmen
Die Flächeneinheit ist beliebig, je nach dem, was in der Angabe steht |
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| 28.05.2012, 20:19 | Tipso | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Thx. Jetzt erhalte ich das Ergebnis: 6,49 = 6,5.
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