Polynome von unendlichen Körpern

16.05.2012, 14:53	Velor92	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome von unendlichen Körpern Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper. Für ein Polynom $\begin{eqnarray} f \in K[T] \end{eqnarray}$ bezeichne $\begin{eqnarray} \tilde f \end{eqnarray}$ die zugehörige Polynomfunktion. Zeigen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray} (tilde) :K[T] \rightarrow K^K \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f \mapsto \tilde f \end{eqnarray}$ genau dann injektiv ist, wenn K unendlich ist. Meine Ideen: Es fängt damit an, dass ich nicht weiß, was $\begin{eqnarray} K^K \end{eqnarray}$ ist und wie dessen Elemente aussehen. Was mir klar ist , dass ich folgendes zeigen muss (1) $\begin{eqnarray} (tilde) :K[T] \rightarrow K^K \end{eqnarray}$ ist injektiv $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ K ist unendlich. (2) K ist unendlich $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (tilde) :K[T] \rightarrow K^K \end{eqnarray}$ ist injektiv [latex]
16.05.2012, 15:13	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} K^K \end{eqnarray}$ sind einfach alle Funktionen von K nach K. Das muss dich eigentlich nicht weiter interessieren, das ist einfach die Zielmenge in der die Funktionen $\begin{eqnarray} \tilde f \end{eqnarray}$ auf jeden Fall leben. (Da hier nirgends über Surjektivität geredet wird, ist es ja völlig egal, wie groß wie wir die Zielmenge wählen, sie muss nur groß genug sein)
16.05.2012, 15:25	Velor92	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay also Sei $\begin{eqnarray} (tilde) :K[T] \rightarrow K^K \end{eqnarray}$ injektiv dann folgt daraus, dass für jedes Polynom $\begin{eqnarray} f,g: (f\neq g) \in K[T] \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \tilde f \neq \tilde g \end{eqnarray}$ aber wieso soll dann K unendlich sein ?
16.05.2012, 16:35	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehme an, K sei endlich und betrachte $\begin{eqnarray} f = \prod_{a \in K} (x-a) \end{eqnarray}$
16.05.2012, 17:21	Velor92	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Sei K endlich dannn folgt daraus, dass char(K) :=p, p>1 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^p 1=0 \end{eqnarray}$ Sei nun $\begin{eqnarray} f= \prod_{a \in K}^{ }~ (x-a) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g=\prod_{b \in K}^{ }~ (x-b) und f \neq g \end{eqnarray}$ also ist a ungleich b dann kann (tilde) nicht injektiv sein, da sowohl f als auch g die null abbildet und sie somit mehrfach abgebildet wird. Das ist ein widerspruch zur def. aber wenn das stimmt dann kann ich genauso auch im unendlichen Körper argumentieren oder etwa nicht?
16.05.2012, 17:24	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie du das definiert hast, ist klarerweise f=g, also taugt das zu keinem Widerspruch. Aber es ist doch $\begin{eqnarray} f \neq 0 \end{eqnarray}$ . Aber was ist mit $\begin{eqnarray} \tilde f \end{eqnarray}$ ? Und wenn du in einem unendlichen Körper bist, so wäre f doch gar kein Polynom, weil du dann unendlich viele Linearfaktoren multiplizieren würdest...
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16.05.2012, 17:35	Velor92	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \tilde f \end{eqnarray}$ sieht doch so aus oder? $\begin{eqnarray} \prod_{a \in K}^{ }~(k-a) \end{eqnarray}$ , wobei k eine Variable aus K ist oder? und die kann null werden. der letzte satz hilft mir auch nicht weiter

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