Würfeln, Würfel beiseitelegen

17.05.2012, 01:09

ASvv

Würfeln, Würfel beiseitelegen

Hi!
Ich möchte die Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Kombinationen bei einem Würfelspiel berechnen. Das Spiel geht so: man hat 3 Würfel. Man würfelt mit allen 3 Würfeln in einem Becher dreimal. Am Ende soll man drei Einsen gewürfelt haben. Wenn man im ersten Wurf eine Eins würfelt, kann man diesen Würfel zur Seite legen und mit den 2 anderen Würfeln noch zweimal würfeln. Diese Regelung gilt auch für den zweiten Wurf und auch für den Fall, dass man 2 Einsen gewürfelt hat usw.
Ich möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der man am Ende drei Einsen gewürfelt hat.
Wie geht man hier vor? Wie berücksichtigt man das Rausnehmen einzelner Würfel?
Danke und Gruß

17.05.2012, 02:27

opi

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Keine eigenen Ideen stimmen mich traurig. Trotzdem:
Erstelle ein Baumdiagramm. Die erste Verzweigung führt zu 0, 1, 2 oder drei Einsen, die Wahrscheinlichkeiten hierfür kannst Du mit der Formel der Binomialverteilung berechnen.
Die weitere Anzahl der Äste ist dann jeweils davon abhängig, wieviele Würfel noch im Spiel sind.

17.05.2012, 02:34

Mathe-Maus

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RE: Würfeln, Würfel beiseitelegen

Zitat:

Original von ASvv
Das Spiel geht so: man hat 3 Würfel. Man würfelt mit allen 3 Würfeln in einem Becher dreimal.
Wenn man im ersten Wurf eine Eins würfelt, kann man diesen Würfel zur Seite legen und mit den 2 anderen Würfeln noch zweimal würfeln.

Das widerspricht sich !
Hast Du Dir die Aufgabe selbst ausgedacht ?

17.05.2012, 03:19

opi

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@Mathe-Maus:
Ob Deine Einmischung hilfreich war, wird sich vielleicht zeigen. Im Gesamtzusammenhang habe ich die Frage (übrigens ein weit verbreitetes Würfelspiel) folgendermaßen verstanden:

Zitat:

Das Spiel geht so: man hat 3 Würfel. Man würfelt mit ~~allen~~ bis zu 3 Würfeln in einem Becher dreimal.

17.05.2012, 03:33

Mathe-Maus

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@opi: Ich schätze Dein Wissen im Bereich Mathematik sehr. smile

Allerdings ist eine genaue Analyse der Aufgabenstellung immer sehr wichtig. Aber das weisst Du ja selbst.
Wenn sich der TE nochmal meldet, kann er die ja Ast präzisieren und Widersprüche ausräumen. geschockt

LG Mathe-Maus Wink

17.05.2012, 18:07

ASvv

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Hi!
Ja, die Aufgabe ist praktisch selbst ausgedacht. Ist so gemeint gewesen, wie opi es verstanden hat.
Sehe ich das richtig, dass die Wahrscheinlichkeit im ersten Wurf mit 3 Würfeln eine Eins zu erwürfeln, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \frac{1}{6} (\frac{5}{6} )^{2} \end{eqnarray*}$ beträgt? Auf diese Art berechne ich dann alle Wahrscheinlichkeiten (wobei ich berücksichtige, dass unter Umständen mit nur zwei Würfeln usw gewürfelt wird) und addiere hinterher die Wahrscheinlichkeiten der Äste, in denen am Ende drei Einsen gewürfelt sind?
Danke und Gruß

17.05.2012, 18:32

opi

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Ja, das siehst Du richtig. Bei Deinem angegeben Beispiel mit einer Eins im ersten Wurf verzweigt sich das Baumdiagramm an dieser Stelle also weiter in drei Äste für 0, 1 und 2 Einsen, deren Wahrscheinlichkeiten wieder alle einzeln berechnet werden müssen.

Eine sehr aufwendige Aufgabe. smile

17.05.2012, 18:37

ASvv

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Hi,
Ok, dann ist alles klar. Scheint damit wirklich sehr aufwendiges Rechnen zu sein.
Zumal man scheinbar ein Baumdiagramm anfertigen muss, um zu sehen, wo sich die Verzweigungen ergeben.
Wie rechnen die Profis diese Aufgabe? Die werden für solche "einfachen" Probleme doch wahrscheinlich nicht mehr auf Baumdiagramme zurückgreifen müssen?

17.05.2012, 19:02

opi

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Ein einfacherer Weg ist mir nicht bekannt. Das Problem liegt darin, daß in dieser Aufgabe gleichzeitig "Ziehen mit Zurücklegen" und "Ziehen ohne Zurücklegen" vorkommt. Dafür braucht man eine Fallunterscheidung, die man zur Übersicht am besten als Baum zeichnet oder vorstellt.
Wenn ein Profi noch einen einfacheren Weg zeigen kann, würde ich mich sehr freuen. smile

17.05.2012, 19:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von ASvv
Wie rechnen die Profis diese Aufgabe? Die werden für solche "einfachen" Probleme doch wahrscheinlich nicht mehr auf Baumdiagramme zurückgreifen müssen?

Ich poste das mal, auch wenn es vielleicht nicht mehr so ganz schultauglich ist:

Sei $\begin{eqnarray*} X_{n,m} \end{eqnarray*}$ die zufällige Anzahl Einsen nach $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ -maligen Werfen mit (anfänglich) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfeln, dann hat man mit $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ die bedingte Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(X_{n,m}=k \bigm| X_{n,m-1}=s) = P(X_{n,m}-X_{n,m-1}=k-s \bigm| X_{n,m-1}=s) \stackrel{!!!}{=} P(\tilde{X}_{n-s,1} = k-s) = \binom{n-s}{k-s} p^{k-s} (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=s,\ldots,n \end{eqnarray*}$ ,

das $\begin{eqnarray*} \stackrel{!!!}{=} \end{eqnarray*}$ deutet an, dass der "Zuwachs" von $\begin{eqnarray*} k-s \end{eqnarray*}$ neuen Einsen durch das Würfeln mit nur noch verbliebenen $\begin{eqnarray*} n-s \end{eqnarray*}$ Würfeln geschieht. Für die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist es unwichtig, wie viele Einsen in der Vergangenheit mit wie vielen Würfeln erzielt wurden, d.h. für den Neuzuwachs an Einsen ist lediglich wichtig, dass man jetzt nur noch mit $\begin{eqnarray*} n-s \end{eqnarray*}$ Würfeln würfelt.

Als totale Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X_{n,m}=k) = \sum_{s=0}^k P(X_{n,m-1}=s) \cdot P(X_{n,m}=k \bigm| X_{n,m-1}=s) \end{eqnarray*}$ summiert ergibt sich daraus die Rekursionsformel

$\begin{eqnarray*} (1)\qquad P(X_{n,m}=k) = p^k(1-p)^{n-k} \sum_{s=0}^k P(X_{n,m-1}=s) \cdot \binom{n-s}{k-s} p^{-s} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,\ldots,n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} m\geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Start der Rekursion ist die Verteilung nach $\begin{eqnarray*} m=0 \end{eqnarray*}$ Würfen, dort hat man mit Wahrscheinlichkeit 1 natülich noch gar keine Eins gewürfelt, d.h.

$\begin{eqnarray*} (2)\qquad P(X_{n,0}=k) = 1_{\{0\}}(k) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

Im vorliegenden Fall interessieren wir uns für $\begin{eqnarray*} n=3,m=3,k=3,p=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ , aber die Rekursion ist natürlich auch für andere Werte zu gebrauchen. Augenzwinkern

Als MuPAD-Skript würde die obige Rekursion (1)(2) dann z.B. so aussehen

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:

PR := proc(n,p,m,k)
  local s,r;
  option remember ;
  begin
    if ( m <= 0 ) then
      if (k <= 0) then
        r := 1
      else
        r := 0
      end_if
    else
      r := 0 ;
      for s from 0 to k do
        r := r + binomial(n-s,k-s)*p^(k-s)*PR(n,p,m-1,s)
      end_for :
      r := (1-p)^(n-k)*r;
    end_if ;
    r
  end_proc ;

PR(3,1/6,3,3)

17.05.2012, 19:36

ASvv

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Hi!
So geht man also als Profi an die Sache ran. Mit der Rekursion insgesamt durchaus nachvollziehbar, selbst für mich.
Danke an opi für seine Hilfestellung und danke an HAL für diesen Ausblick! Freude

17.05.2012, 20:45

Dopap

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das Spiel ist zwar ausgedacht, aber etwas Ähnliches gab es früher schon.

Nur durfte man 2 Sechsen zusätzlich in eine Eins umwandeln...

und als Vorleger in jeder Stufe auch aufhören.

Die Frage war dann: lass ich das Ergebnis ( nach 1 oder 2 Würfen ) stehen, oder mach ich weiter?

Da hab ich damals ganze DIN_A4 Seiten zusammengerechnet ( mit simplen TR ) um die optimale Strategie zu finden... Augenzwinkern

17.05.2012, 23:17

hollisch

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Schocken heißt das Spiel Big Laugh

ich find's einfach super lustig, dass es ein paar andere Leute gibt, die sich die gleiche Frage auch gestellt haben^^

18.05.2012, 00:30

Dopap

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genau! Alles wiederholt sich !

Ich habe darin ganze Tage investiert und dann das Wesentliche auswendig gelernt.
nun in den 70-ger Jahren wurde das Spiel in den Kneipen extrem gespielt, und als Mathestudent- mit wenig Geld - wollte man sich schon einen Vorteil verschaffen. Big Laugh

edit-----------------------------------------------

aber genau diese Investition in Unbeugsamkeit angesichts des Problemes bringt die fundierten Erkenntnisse hervor.
Also keine Klugredner-Argumente...

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