Einheitengruppe

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mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitengruppe
Hallo!

Wenn ich einen unitären Ring habe (nicht kommutativ), kann es dann sein, dass ab=1, aber ba nicht?
Könnten a und b eventuell sogar Nullteiler sein?
blubbel Auf diesen Beitrag antworten »

Hi =)

Zu letzterem: Einheiten sind nie Nullteiler, denn wäre a invertierbar und ab=0, folgt: . (siehe auch ähnlichen Beweis unter http://de.wikipedia.org/wiki/Nullteiler#Eigenschaften)

Aus ab=1 folgt nicht zwingend ba=1 (siehe z.B. auch http://de.wikipedia.org/wiki/Ringtheorie...keit.2C_Einheit wo Linksinverse von Rechtsinversen getrennt werden). Ein Gegenbeispiel hab ich aber gerade nicht zu bieten - vielleicht geht da etwas mit Matrizen? smile


edit: Wie wärs mit Homomorphismen auf IR?
Sei f: IR -> IR, x -> 2x+1
Dann ist g: x -> 1/2(x-1) ein Rechtsinverses, aber kein Linksinverses (mit der Identität als 1).

noch ein edit: Öhm.. ich glaub mein Beispiel hinkt. g ist auch ein Linksinverses unglücklich Aber jester hat ja schon ein Gegenbeispiel gebracht Augenzwinkern
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Gegenbeispiel findet man im Endomorphismenring des Polynomvektorraums über einem Körper. Ableiten ist dort rechtsinvertierbar, aber nicht linksinvertierbar.
Falter-Walter Auf diesen Beitrag antworten »

@jester
In diesem EndomorphismenRing (über Polynomen) ist der Abl.Op. D nilpotent, insbesondere gibt es dort kein , sodass . Hierzu müsste man einschränken, womit der Ring jedoch nicht mehr unitär wäre ...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte auch den Endomorphismenring R eines Vektorraums mit einer abzählbar unendlichen Basis B nehmen... Ist dann f die lineare Fortsetzung einer injektiven, aber nicht surjektiven Abbildung von B in B, so erfüllt diese zusammen mit ihrer Linksinversen f* offenbar die gestellten Bedingungen...
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Falter-Walter
insbesondere gibt es dort kein , sodass


Das habe ich ja auch nicht behauptet, sondern ist rechtsinvertierbar, die Rechtsinverse ist (und entsprechend linear auf Polynome fortgesetzt). Eine Linksinverse gibt es natürlich nicht, da einen Kern hat.

kann aber auch nicht nilpotent sein, da ist, oder? verwirrt
Falter-Walter Auf diesen Beitrag antworten »

Der TO sagt . - Darum gehts. Diese ist eine beidseitige, vermöge 'unitärer Ring'. Das untenstehende
kann das nicht leisten.


In deinem Bsp. ist btw und so sieht das aus ...



mit Hauptdiag., damit man die Nilpotenz (besser) erkennt.

Also bleibt die Frage: Gibt es 2 Elte mit im Ring mit beidseitiger ?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Leider kann ich dir immer noch nicht folgen. Die Identitätsabbildung ist sicherlich eine beidseitige 1 im Ring .
Die Tatsache, dass zeigt ja, dass es ein Polynom gibt, das nicht auf 0 abgebildet wird unter für beliebiges , was bedeutet, dass in keiner Potenz die Nullabbildung werden kann und somit nicht nilpotent ist. Was dieser Darstellung in Matrizen mit vermitteln soll, ist mir unklar. Diese Darstellung ist mir nur für Endomorphismenringe endlichdimensionaler Vektorräume bekannt. Selbst dann, wenn wir beispielsweise den Grad nach oben beschränken würden, um einen endlichdimensionalen Teilraum zu erhalten, würde ich keine Potenzen von in die Koordinatenspalten eintragen, sondern eben nur Koordinaten.

Weiter erfüllen doch und sein Rechtsinverses,

genau das geforderte , denn für jedes Polynom gilt einerseits
, sodass in der Tat , andererseits ist
, sodass .

Also ist alles wie gewünscht und ist nicht nilpotent.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Falter-Walter
mit Hauptdiag., damit man die Nilpotenz (besser) erkennt.

Die Matrix ist definitiv nicht nilpotent, denn man kann kein festes angeben, sodass ist... Und m.E. ist auch Jester's Bespiel korrekt, in dem Sinne, wie er es oben ausgeführt hat...

Edit: Sorry, habe nicht gesehen, dass Jester mittlerweile ohnehin schon geantwortet hat...
Falter-Walter Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, ihr habt beide recht. - Endl.Dim ist das Stichwort. Hammer
mathinitus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, es geht noch leichter als Ableiten. Einfach einen Rechtsshift durchführen. Also für n>0 und . Der dadurch definierte Endomorphismus ist rechtsinvertierbar, aber nicht linksinvertierbar. Außerdem ähnelt dieses Beispiel dem der Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Einheit_%28Mathematik%29#Beispiel.
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