hermitesche Matrix

17.05.2012, 12:49	Trode	Auf diesen Beitrag antworten »
hermitesche Matrix Meine Frage: Ich möchte zeigen, dass Z= A+iB hermitesch ist, mit: A eine reelle, quadratische, symmetrische Matrix und B eine reelle, quadratische, schiefsymmetrische Matrix Hat jemand einen Ansatz für mich? Meine Ideen: Ich weiß folgendes: Symmetrisch: $\begin{eqnarray} A = A^{T} \end{eqnarray}$ Schiefsymmetrisch: $\begin{eqnarray} A = - A^{T} \end{eqnarray}$ hermitesch: Symmetrisch: $\begin{eqnarray} A = A^{T}(konj) \end{eqnarray}$ außerdem muss ja gelten: Die Eigenwerte von Z müssen reell sein.
19.05.2012, 09:03	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bilde doch einfach mal $\begin{eqnarray} \overline{Z^T} \end{eqnarray}$ und beachte die bekannten Rechenregeln fürs Transponieren und Konjugieren. Zu den reellen Eigenwerten: Weißt du, dass hermitesche Matrizen diagonalisierbar sind?
19.05.2012, 19:05	Trode	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Danke für deine Antwort. Also A bleibt ja A wenn ich konjugiere. Während der Imaginärteil zu -iB wird. Also schonmal Z(kon) = A - iB und dann transponiere ich: $\begin{eqnarray} Z(kon)^{T}= A^{T} - i B^{T} \end{eqnarray}$ ist das so richtig? Und ja, ich weiß, dass hermitesche Matrizen diagonalisierbar sind, da sie ja das Pendant zu symmetrischen Matrizen bilden. Dort gilt doch $\begin{eqnarray} S(kon)^{T}AS = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & . & 0 \\ . & . & . \\ 0 & . & \lambda_{n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Brauche ich das? Wenn ich dann weiter gehe: mit $\begin{eqnarray} A^{T}=A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -B^{T}=B \end{eqnarray}$ erhalte ich für $\begin{eqnarray} Z(kon)^{T} = A + iB = Z \end{eqnarray}$ und das ist ja wiederum die Bedingung für eine hermitesche Matrix. Fertig?
19.05.2012, 19:17	Trode	Auf diesen Beitrag antworten »
Darauf aufbauend soll ich jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{r=1}^n \lambda_{r}^2 = \sum\limits_{j,k=1}^n \| Z_{j,k} \|^2 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ die Eigenwerte von Z sind. Ich kann damit arbeiten, dass die Anzahl identischer Eigenwerte der algebraischen Vielfachheit entsprechen. Hast du da vllt auch einen Ansatz für mich? Vielen Dank schonmal
27.05.2012, 07:05	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte dieses Thema zwischendurch ganz vergessen, sorry. Vielleicht bringt dir ja eine Antwort noch etwas: 1. Zeige, dass die rechte Summe gleich der Spur von $\begin{eqnarray} Z^2 \end{eqnarray}$ ist. 2. Die Spur einer Matrix ist die Summe der Eigenwerte 3. Die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} Z^2 \end{eqnarray}$ sind genau die Quadrate der Eigenwerte von $\begin{eqnarray} Z. \end{eqnarray}$ Denn die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ sind reell und nichtnegativ (betrachte $\begin{eqnarray} 0\leq (Zv)^{}Zv \end{eqnarray}$ ), für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lambda^2 \end{eqnarray}$ Eigenwert von $\begin{eqnarray} Z^2 \end{eqnarray}$ und für v Eigenvektor von $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist v auch Eigenvektor von $\begin{eqnarray} Z^2 \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda^2 \end{eqnarray*}$

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