Konvergenz von Reihen [war: Brauche Hilfe bei einer Aufgabe]

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Tassadar Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen [war: Brauche Hilfe bei einer Aufgabe]
Hallo,

habe gerade einen Leerlauf,
kann mit jemand bei der Aufgabe helfen?

Für welches kovergieren die folgenden Reihen:

a)

b)

Danke für all eure Hilfe,

Gruß Tassadar

[Mod: Titel geändert! Bitte einen zu der Aufgabe passenden Titel wählen!]
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Brauche Hilfe bei einer Aufgabe
Bei der 1. Aufgabe würde ich umformen:



Und dann würde ich mal an die geometrische Reihe denken bzw. es mit Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium versuchen. Augenzwinkern
Mitchell21 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo
ich bin gerade auch dabei diese beiden Aufgaben mir näher anzusehen und ich hoffe mal das ihr folgendes beurteilen könnt ob das richtig wäre:

Ich habe mir zu dieser Aufgabe folgendes überlegt:

Fall a)


Das ist die geometrische Reihe und diese konvergiert ja für alle |x|<1

Fall b) |x|>1
Quotientenkriterium:


Jetzt noch den limes von:



Es folgt die Divergenz für |x|>1

Für die Grenzen 1 und -1 ergeben sich einmal die divergente harmonische Reihe und einmal die alternierende divergente harmonische Reihe.
Es ergibt sich also insgesamt:

Konvergenz auf dem Intervall

Würdet ihr darauf volle Punkte geben oder war etwas falsch? Es ist echt wichitg, da so ähnliche unsere Klausuraufgaben aussehen werden.

Schönen Gruß Mitchell21

EDIT von Calvin
LaTeX: bitte keine Zeilenumbrüche in latex-Tags
Mitchell21 Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte um Korrektur
Tin21 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ich wäre auch an der Lösung dieser Aufgaben interessiert. Vielen DANK
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt ein paar Stellen, an denen ich mir nicht ganz sicher bin, ob du richtig gerechnet hast.

Zunächst mal sollte der Index bei deinen Summen wohl n und nicht k sein. Sonst sind alle Reihen divergent.

Zitat:
Original von Mitchell21
Fall a)


Der Summand für n=0 in der Reihe ist nicht definiert. Ob die Abschätzung dann trotzdem noch gilt, weiß ich nicht.

Angenommen, die Abschätzung würde gelten, dann finde ich deine nächste Abschätzung nicht auf den ersten Blick ersichtlich. Besser wäre und damit

Zitat:
Fall b) |x|>1
Quotientenkriterium:


Jetzt noch den limes von:



Mal abgesehen davon, dass bei dir Klammern fehlen, muss da nicht betrachtet werden?

Zitat:
Für die Grenzen 1 und -1 ergeben sich einmal die divergente harmonische Reihe und einmal die alternierende divergente harmonische Reihe.


Die alternierende harmonische Reihe konvergiert, und zwar gegen 2. Problematisch bei dir ist aber, dass für und der Summand wieder nicht definiert ist.
 
 
Mitchell21 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ich danke dir erstmal für deine Analyse,

würde die Aufgabe auf Anhieb leichter zu lösen gehen? Habe mit den konvergenzen von reihen so meine probleme.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es, von Anfang an das Quotientenkriterium zu nehmen?




Wenn ich das auflöse, kriege ich die Ungleichung Mich stört lediglich noch das q dazwischen verwirrt Darf man da einfach sagen, dass die Reihe für konvergiert?
SilverBullet Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
verwirrt Darf man da einfach sagen, dass die Reihe für konvergiert?



Ja zumindest ist das Quotientenkriterium genau so definiert. Das q kannste weglassen.
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