Injektivität zeigen

18.05.2012, 10:41

Stefan03

Injektivität zeigen

Hi,

gegeben ist die Abb. $\begin{eqnarray*} f: M \to N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R=(x,y) \in M \times M | f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$

Dann soll ich zeigen, dass die Äqui-kl. bzgl. R einelementig sind, wenn f injektiv ist:

Reicht es dann zu sagen: $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ nur wenn $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ , da f injetiv.
$\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(y_1)=f(x_2)=f(y_2) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f(y_1)=f(y_2) \end{eqnarray*}$ , also R einelementig.

18.05.2012, 11:49

Math1986

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RE: Injektivität zeigen
Vom Prinzip her richtig, nur die Schreibweise ist etwas verwirrend (du wirfst mit sehr vielen Variablen umher):
Es genügt hier zu zeigen $\begin{eqnarray*} x_1\sim_Rx_2\Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$
Da kannst du direkt die Injektivität drauf anwenden.

Vom Beweis her also $\begin{eqnarray*} x_1\sim_Rx_2\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ , wo da deine $\begin{eqnarray*} y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ herkommen weiß ich nicht.

18.05.2012, 12:07

Stefan03

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OK, danke.

18.05.2012, 12:09

Iorek

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RE: Injektivität zeigen
Eine Sache noch:

Zitat:

Original von Stefan03
also R einelementig.

R muss nicht notwendigerweise einelementig sein, es geht hier vielmehr um die Äquivalenzklassen, diese enthalten dann nur ein Element.

18.05.2012, 12:27

Math1986

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RE: Injektivität zeigen
Stimmt, das hatte ich übersehen. Es muss genauer gesagt sogar $\begin{eqnarray*} |R|=|M| \end{eqnarray*}$ gelten.

20.05.2012, 11:30

Stefan03

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Hi,

danke schonmal für eure Antworten. Ist dann mein Lösungsvorschlag, trotz der vielen Variablen, die ich ja prkatisch auf $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ reduzieren kann richtig oder nicht? Zeige ich damit, dass beide gleich mächtig sind.

20.05.2012, 12:28

Math1986

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Hm, ich denke du hast in deinem Ansatz das richtige gemeint, es ist aber zumindest formal nicht ganz korrekt, da irgendwie nicht klar wird, welche Variable nun für was steht, bzw in welchem Bezug diese zueinander stehen.

PS: Bein vorheriger Beitrag war nur eine Ergänzung von Ioreks Beitrag, die Gleichmächtigkeit war nicht explizit zu zeigen.

20.05.2012, 12:42

Stefan03

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ok, danke

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