Betrag einer komplexen Zahl

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Imara Auf diesen Beitrag antworten »
Betrag einer komplexen Zahl
Meine Frage:
Hallöchen,

ich bereite mich gerade auf meine Mathe Klausur vom Medientechnik Studium vor. Da mathe aber noch nie so mein Steckenpferd war brauch ich ein wenig Hilfe ^^;

Also die Aufgabe lautet: Gegeben sind folgende komplexe Zahlen z1=2-2i z2=1+?3i Berechnen Sie!

Nun is der Betrag beider aufgaben erfragt a) |z1| b) |z2|

Wir haben eine Lösung gegeben, jedoch komme ich beim besten willen nicht darauf wie es geht, vielleicht kann da jemand helfen.



Meine Ideen:
Meine Ansätze für beide Aufgaben waren nun wie folgt:

Da man bei Betrag a und b quadrieren soll hab das gemacht und dann noch Wurzel drüber, sprich:

|z1|=?2²-2i² bzw |z2|=?1²+?3i²

Meine weiteren Gedankengänge dazu waren:
- i²= *(-1) also bei z1 würde aus -2i² -2*(-1)=2 werden und ähnlich für z2 eben, jedoch ist dort noch eine Wurzel gegeben von der ich nicht wei ob das Quadrat und die Wurzel sich aufheben oder nicht.
- des weitern hab ich in diversen Büchern versucht Beispiel zu finden und jedes mal verschwindet dabei schon das i wobei ich nicht sicher bin ob diese durch die Umformung zu *(-1) geschieht denn die Werte selbst wurde in den Beispielen quadriert was einen neuen Gedanken aufwirft.
- muss es statt |z1|=?2²-2²i² heißen? Ich kann es mir nicht vorstellen und komme damit auch zu keinem verwertbaren Ergebnis aber wer weiß.
- Mein letzter Gedanke war noch das bei der Betragsrechnung das i generell ignoriert wird.. aber auch hier bin ich keinesfall sicher.
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

sei . Dann gilt:

Was ist nun bei deinem das a und das b? Und wie berechnest du dann den Betrag?
Imara Auf diesen Beitrag antworten »

Ich seh grad das es mir bei der einen Formulierung die Wurzeln in Fragezeichen verhunzt hat aber nya..

z1=2-2i
also auf z1 bezogen is a=2 und b=-2i oder?

um die Formel anzuwenden muss ich also a und b quadrieren und ne Wurzel drüber
sprich wie ich oben schon geschrieben hab
|z1|=W2²-2i²

wenn ich dann weiterrechne hätte ich versucht zu quadrieren, also:
=W4-2*(-1)
=W4+2
(=W6 ist nicht "möglich da bei Wurzel 6 ja keine ganze Zahl herauskommt)

W=Wurzel, irgendwie kann ich das Wurzelzeichen nicht einfügen -.-
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

nein, dein b ist alles, was vor i steht, also "nur" ohne das i...

da kommt auch was "schönes" raus und wer sagt, dass Wurzel aus 6 nicht möglich ist. Ist zwar keine natürliche Zahl, das stimmt, aber macht ja nichts, oder?!?
Imara Auf diesen Beitrag antworten »

ach also wird bei dieser Betragsrechnung nun doch das i ignoriert?
Warum ist das so, weißt du das?
(In der Vorlesung haben wir aus Zeitgründen keine Theorie behandelt und nur Aufageben vorgesetzt bekommen, deswegen is mir das nicht ganz klar)

mit nicht möglich meinte ich nur das es mich nicht zum gewünschten Ergebnis führt, srry war unglücklich ausgedrückt.


So also da i wegfällt wäre meine neue Rechnung ja

|z1|=W2²-2²
=W4-4
=W0
und das macht ja nun auch nicht mehr Sinn.. das meintest du dann wohl mit: da kommt auch was schönes raus oder?

Hm eine neue überlegung wäre das mein Grundlösungsansatz noch einen Fehler hat und zwar das -

also neue Überlegung:
|z1|=W2²+(-2²)
=W4+(-4)
=W4+4
=W8
=2,828...

Kommt also auch wieder nicht das raus was ich will ;_;
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

deine lezte "neue" Überlegung ist richtig. Warum das so ist: Man kann komplexe Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebende (R²) als Vektor darstellen. Und die Länge eines Vektors, also hier der Betrag deiner komplexen Zahl, ist eben nach Pythagoras so definiert...

Hier mal ein Bild dazu: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/59/Gaussplane_kartesianAndPolar.png

Wiki-Eintrag: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

Und ist die richtige Lösung...
 
 
Imara Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay und um mich selbst noch mal zu bestätigen wollt ich noch fragen ob mein Lösungsweg zu z2 richtig ist, wäre schön wenn ich da noch ne Antwort bekäme =)

z2=1+W3i

|z2|=W1²+W3² da sich ja Wurzel und Quadrat aufheben komme ich follend auf
=W1+4 =W4
|z2|=2

Sollte stimmen oder?
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, stimmt
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