Beweisaufgabe mit Eigenwerten

18.05.2012, 11:28

Yushi

Beweisaufgabe mit Eigenwerten

Meine Frage:
Es seien $\begin{eqnarray*} A,B \in \mathbb R ^{n \times n} \end{eqnarray*}$ mit AB = BA. Es sei v ein Eigenvektor von A für den $\begin{eqnarray*} Bv\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Zeigen Sie, dass dann Bv ist ein Eigenvektor von A ist.

Meine Ideen:
Hallo zusammen!
Also mein Überlegung ist, dass ja die Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Kann ich denn in dem Fall annehmen, dass B die Einheitsmatrix ist, oder übersehe ich was? Weil wenn nicht, dann wäre der Beweis ja trivial zu führen.

Danke schonmal!

18.05.2012, 11:39

Iorek

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Nein, du kannst nicht annehmen, dass B die Einheitsmatrix ist. Die Matrizenmultiplikation st zwar i.A. nicht kommutativ, es gibt aber durchaus einige Matrizen (die nicht die Einheitsmatrix sind) die kommutieren ( $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ etwa kommutieren, sind aber beides nicht die Einheitsmatrix).

Der Beweis ist trotzdem recht trivial, du weißt, dass $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist, was kannst du daraus folgern? Verwende dann die Kommutativtät um zu zeigen, dass auch $\begin{eqnarray*} Bv \end{eqnarray*}$ ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist.

18.05.2012, 15:54

JuniorMathematiker

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hi ihr zwei,

ich hoffe euch macht es nichts aus, wenn ich auch eine frage stelle. will nur wissen ob ichs richtig gemacht habe.

es gilt A*v=0 , weil v eigenvektor von A.
Zudem ist AB = BA also kommutativ.

zz: B*v ist EV von A also A*B*v=0

aber kann ich dann wirklich einfach sagen wegen der kommutativität, dass

B*A*v = B*0=0 ist? oder übersehe ich etwas??

18.05.2012, 17:52

Iorek

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Zitat:

Original von JuniorMathematiker
es gilt A*v=0 , weil v eigenvektor von A.

Nein, warum sollte das gelten?

18.05.2012, 19:26

JuniorMathematiker

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ok mein fehler!
neuer versuch:

Sei t der EW zu dem EV v.
es gilt: A * v = t*IN*v (so ich hoffe, das ist jetzt richtig)
da (A - t*IN) * v = 0
und
AB = BA

A(Bv) = (AB)v = (BA)v = B(Av) = B(t*IN v) = t*IN * B * v

das war ja zu zeigen oder??

also hoffe das ist richtig!

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