Gauß vs. Cholesky
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18.05.2012, 15:48 Andreas1993 Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß vs. Cholesky
Hallo,

meine Aufgabe ist es, die Cholesky Zerlegung mit dem Gauß-Algorithmus zu vergleichen, dabei soll ich jeweils die Vor-und Nachteile aufzeigen und zeigen, dass die Cholesky-Zerlegung schneller geht.

Ich zähl einfach mal die Punkte auf, die ich heraus gefunden habe, und ihr könnt mir ja noch Tipps geben, was ich noch berücksichtigen könnte.

Gauß-Algorithmus
Vorteile :
- benötigt nur Grundrechenarten
- Standard Lösungsverfahren für alle linearen Gleichungssysteme
- für jedes lineare Gleichungssysem anwendbar
Nachteile :
- ist ohne die Pivotisierung nicht numerisch stabil ( was heißt das genau?)
- bei großen Matrizen sehr viel Aufwand
- kann die Schritte und Rechnungen schwer nachvollziehen

Cholesky :
Vorteile :
- testet gleichzeitig ob die Matrix positiv definit ist
- bei maschinellen Rechnern benötigt es nicht so viel Speicher ( warum ?)
- arbeitet numerisch stabil : "Wesentlicher Grund dafür ist das Ziehen der Quadratwurzel beim Berechnen der Hauptdiagonalelemente. Dabei werden die wesentlichen Ziffern (ob von sehr großen oder sehr kleinen Zahlen ausgehend) näher an das Komma herangezogen, was in jedem Schritt einer Normalisierung ähnelt" ( ?? )
-man kann die Schritte besser nachvollziehen ( durch die Zerlegung, damit man auf A kommt )
NAchteile :
- gilt nur für symmetrische Matrizen
- eventuell eine Umformung zur symmetrischen Matrix nötig


Ich hoffe, ihr könnt mir noch weiterhelfen ;-)
18.05.2012, 15:59 Andreas1993 Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzung

Cholesky
Vorteile :

- benötigt im Rechner 1/6 * n^3 ( Gauß 1/3 *n^3 ) Wofür steht hier das n genau?
- weniger Aufwand bei großen Matrizen
-effektiver, kürzer
18.05.2012, 22:40 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauß vs. Cholesky
Im Wesentlichen richtig.

Zitat:
Original von Andreas1993
- ist ohne die Pivotisierung nicht numerisch stabil ( was heißt das genau?)
Den Begriff solltest du dir selbst nochmal anschauen. Bezogen auf das Verfahren bedeutet es einfach, dass du einen Überlauf bekommen kannst, wenn du im Divisionsschritt durch betragsmäßig kleine Zahlen teilst. Daher wählt man als Pivotelement in jedem Schritt das betragsgrößte Element, um genau das zu vermeiden.
Zitat:
Original von Andreas1993
- kann die Schritte und Rechnungen schwer nachvollziehen
Das ist dann aber eher dein Problem, und kein Grund, der gegen den Algorithmus selbst spricht, zumal diese Einschätzung doch sehr subjektiv ist.


Zitat:
Original von Andreas1993
- bei maschinellen Rechnern benötigt es nicht so viel Speicher ( warum ?)
Weil du Nur eine Matrix abspeichern musst.

Zitat:
Original von Andreas1993
- arbeitet numerisch stabil : "Wesentlicher Grund dafür ist das Ziehen der Quadratwurzel beim Berechnen der Hauptdiagonalelemente. Dabei werden die wesentlichen Ziffern (ob von sehr großen oder sehr kleinen Zahlen ausgehend) näher an das Komma herangezogen, was in jedem Schritt einer Normalisierung ähnelt" ( ?? )
Dadurch, dass du die Wurzeln ziehst, werden die wesentlichen Stellen an das Komma herangezogen und nähren sich der Eins an.
18.05.2012, 22:40 Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Andreas1993

Cholesky
Vorteile :

- benötigt im Rechner 1/6 * n^3 ( Gauß 1/3 *n^3 ) Wofür steht hier das n genau?
- weniger Aufwand bei großen Matrizen
-effektiver, kürzer
Soweit korrekt. Das n steht für die Größe des Gleichungssystems.
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