Orthogonalraum, Ebene aufspannen

18.05.2012, 17:43

LeoRS

Orthogonalraum, Ebene aufspannen

Meine Frage:
hello again,
ich habe zwei Fragen und kann die zweite auf zwei Weisen stellen, es wäre lieb, wenn mir jemand alles erklären würde, aber bitte ausführlich.

1. Die Ebene $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ wird von folgenden zwei Vektoren aufgespannt:
$\begin{eqnarray*} z_{1} = \left(cos\frac{2\pi}{5} , cos\frac{4\pi}{5} , cos\frac{4\pi}{5} , cos\frac{2\pi}{5} , 1 \right) , z_{2} = \left(sin\frac{2\pi}{5} , sin\frac{4\pi}{5} , -sin\frac{4\pi}{5} , -sin\frac{2\pi}{5} , 0 \right) \end{eqnarray*}$

Wie sieht diese Ebenengleichung aus, wenn $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ so aufgespannt wird?

2a). Wie berechne ich den Orthogonalraum zu dieser Ebene?

2b). In meiner Quelle steht, dass der Orthogonalraum $\begin{eqnarray*} E^{,} = P_{2} \oplus \Delta \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ wiederum von Vektoren

$\begin{eqnarray*} z_{3} = \left(cos\frac{4\pi}{5} , cos\frac{2\pi}{5} , cos\frac{2\pi}{5} , cos\frac{4\pi}{5} , 1\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{4} = \left(sin\frac{4\pi}{5} , -sin\frac{2\pi}{5} , sin\frac{2\pi}{5} , -sin\frac{4\pi}{5} , 0 \right) \end{eqnarray*}$
aufgespannt wird und $\begin{eqnarray*} \Delta = \left(1,1,1,1,1\right) \end{eqnarray*}$ .
Wie kann man das beweisen bzw. wie rechnet man das überhaupt aus, um $\begin{eqnarray*} E^{,} \end{eqnarray*}$ zu bekommen und wie sieht $\begin{eqnarray*} E^{,} \end{eqnarray*}$ aus?

Meine Ideen:
Zu 1. Heißt die Ebenengleichung $\begin{eqnarray*} P_{1} = t\times z_{1} + r\times z_{2} \end{eqnarray*}$ ?

2a). Ich glaube ich muss den Richtungsvektor (oder die Richtungsvektoren?) so verändern, dass er orthogonal steht, aber ist z_1 dann z.B. ein Richtungsvektor? Kann mir jemand eine Formel dazu sagen?

18.05.2012, 19:14

Totto-GE

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RE: Orthogonalraum, Ebene aufspannen
Nee. - Ebene wird NIE von 2 Vektoren aufgespannt.

19.05.2012, 09:51

LeoRS

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RE: Orthogonalraum, Ebene aufspannen
?? Aber in meiner Quelle steht ausdrücklich da, dass diese Ebenen von folgenden Vektoren aufgespannt werden.

19.05.2012, 14:23

Totto-GE

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RE: Orthogonalraum, Ebene aufspannen
... schlechte Quelle oder Originaltext posten.

Lege ein Blatt Papier auf 2 Finger. Fällt runter. Warum? 3-ter Finger fehlt. Lesen2

20.05.2012, 12:00

LeoRS

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RE: Orthogonalraum, Ebene aufspannen
Es ist eine wissenschaftliche Arbeit für das Lehramt an Gymnasien: "Die Ebenen $\begin{eqnarray*} P_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_{2} \end{eqnarray*}$ werden von den folgenden Vektoren aufgespannt: $\begin{eqnarray*} P_{1} : \{ z_{1} , z_{2} , <br /> P_{2} : \{ z_{3} , z_{4} \end{eqnarray*}$

20.05.2012, 12:13

ollie3

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RE: Orthogonalraum, Ebene aufspannen
hallo leute,
da musss ich aber Leo recht geben und was totto sagt, ist falsch, durch 2 vektoren kann man selbstverständlch eine ebene aufspannen, und in diesem
fall hätten wir (2-dimensionale) ebenen im 5-dimensionalen raum.
gruss ollie3

20.05.2012, 13:48

Totto-GE

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RE: Orthogonalraum, Ebene aufspannen
@ollie
Dann gib eine Formel für deine Behauptung an.

Solltest Du $\begin{eqnarray*} P_i : \vec{0} + a \vec{z_1} + b \vec{z_2} \end{eqnarray*}$ meinen, sind es 3 Vektoren. Aber das steht nirgendwo, dass die Ebenen durch
$\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ gehen.

'Ebenen' sind btw immer 2-dim, egal in welchem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .

20.05.2012, 14:26

ollie3

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RE: Orthogonalraum, Ebene aufspannen
hallo totto,
stimmt, ich habe dabei vorausgesetzt, dass die ebenen durch den nullpunkt
gehen, das ist aber nicht zwingend der fall, dann braucht man tatsächlich
noch einen dritten vektor, um überhaupt erst mal vom nullpunkt zu der ebene
zu kommen, du hast also recht. Freude

gruss ollie3

20.05.2012, 14:56

LeoRS

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RE: Orthogonalraum, Ebene aufspannen
aber da steht nichts vom dritten Vektor!!! Heißt es nicht, dass diese Vektoren durch den Nullpunkt gehen? Ich meine, falls diese Vektoren in Parameterform stehen würden, dann hieße es: $\begin{eqnarray*} z_{1} = \left(0, 0, 0, 0, 0\right) + 1 \times \left(z_{1a}, z_{1b},z_{1c},z_{1d},z_{1e},\right) \end{eqnarray*}$
Das habe ich irgendwie vorausgesetzt, aber wahrscheinlich stimmt es dann nicht...

20.05.2012, 17:47

Totto-GE

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RE: Orthogonalraum, Ebene aufspannen
@Leo

Zitat:

aber da steht nichts vom dritten Vektor!!!

Genau ! - Deshalb mein Einwand. Ebenen gehen immer durch 3 Punkte. Eine Ebene (in Parameterdarstellung) hat die Form ... $\begin{eqnarray*} E : \vec{a} + \lambda (\vec{b}-\vec{a}) + \mu (\vec{c}-\vec{a}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b},\vec{c} \end{eqnarray*}$ die 3 Punkte (= Vektoren) sind.

Im weiteren Teil der Aufgabe wird von Räumen gesprochen, gemeint sind dann Untervektorräume des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ . Vektorräume enthalten immer einen $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ . Insofern hätte in deiner 'wissenschaftlichen Arbeit' besser gestanden 'Unterraum' oder noch besser 'linearer Unterraum' (der von irgendwas aufgespannt wird). Ebenen sind i.a. sog. 'affine Unterräume' d.h. $\begin{eqnarray*} \vec{a} + \{\rm{lin.,2-dim.~Raum}\} \end{eqnarray*}$ d.h. um $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ verschobene lineare Räume und NUR selber linear, wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a}=\vec{0} \end{eqnarray*}$ , d.h. KEINE Verschiebung aus dem Koordinatenursprung stattfindet.

Dein $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \in P_1 \end{eqnarray*}$ hat ergo die Parameter-Darstellung $\begin{eqnarray*} P_1 : \lambda\, z_1 + \mu\, z_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda\,,\,\mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Vermutlich meintest du das auch bei 'deinen Ideen'. Benutze das Zeichen $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ nicht. Es bedeutet 'Kreuzprodukt'. Benutze $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ oder 'nix', denn es ist dann klar, dass Vielfache von Vektoren gebildet werden.

Man erkennt $\begin{eqnarray*} 0 \in P_1 \end{eqnarray*}$ dadurch, dass man $\begin{eqnarray*} \lambda=\mu=0 \end{eqnarray*}$ findet, sodass $\begin{eqnarray*} \vec{0} = \lambda\, z_1 + \mu\, z_2 \end{eqnarray*}$ gilt.

Merke: Ebenen (oder andere Teilmengen) haben (Parameter-)Darstellungen. Ein Vektor ist nur ein Punkt und hat bestenfalls eine Koordinaten-Darstellung, wie die $\begin{eqnarray*} z_1,\ldots,z_4 \end{eqnarray*}$ .

Mach dir klar: Vektoren sind Elemente bzw. Punkte einer Menge (die man Vektorraum nennt), weil es Rechenregeln für diese Elemente gibt. Insofern geht ein Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ nicht durch $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ , sondern ist DAS Element $\begin{eqnarray*} \vec{0} \in \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ mit dem man rechnen kann.

Dies sollte klar sein, bevor man die Aufgabe beginnt.

in medias res ...

(2a) wird von (2b) gelöst. Für den allg. Fall benutzt man 'Gram-Schmidt' oder ein geschicktes LGS.

(2b) Falls $\begin{eqnarray*} E = P_2 \oplus \Delta \quad \bot \quad P_1 \end{eqnarray*}$ dann muss für jedes $\begin{eqnarray*} e \in E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p \in P_1 \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} e ~\bot~ p \end{eqnarray*}$ was mit Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ bedeutet: $\begin{eqnarray*} e \cdot p = 0 \end{eqnarray*}$ .

e und p haben jeweils Parameterdarstellungen, sodass die Orthogonalität nur für die entspr. Richtungsvektoren zu prüfen ist.

Damit habe ich alles gesagt. 'Leo' kann was vorführen und 'irgendeiner' kann das checken ...
Wink

20.05.2012, 21:43

LeoRS

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RE: Orthogonalraum, Ebene aufspannen
Mit Zunge

danke danke danke! jetzt versuche ichs mit Gram-Schmidt.

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Orthogonalraum, Ebene aufspannen

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