Lokale Extrema bestimmen

18.05.2012, 19:11

Savior

RE: Lokale Extrema bestimmen

So konnte nicht mehr editieren, da 15min abgelaufen waren, hier meine Frage smile

Meine Frage:

Ich habe so mein Problem mit folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3->\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x,y,z):=x^4-2x^2y^2z+3y+2z \end{eqnarray*}$
Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} x_{0}\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ in denen f ein lokales Extremum besitzt

Meine Ideen:

Zunächst gilt $\begin{eqnarray*} (gradf)(x,y,z)^T=\begin{pmatrix} 4x^3-4xy^2z \\ -4x^2yz+3 \\ -2x^2y^2+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit erhalte ich meine 3 Gleichungen

$\begin{eqnarray*} 4x^3-4xy^2z=0<br /> -4x^2yz+3=0<br /> -2x^2y^2+2=0 \end{eqnarray*}$

Zunächst löse ich die dritte nach x auf und erhalte $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm\frac{1}{y} \end{eqnarray*}$ (durch y darf geteilt werden da aufgrund von $\begin{eqnarray*} x²y²=1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x,y\neq0 \end{eqnarray*}$

x eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt für beide x-Werte $\begin{eqnarray*} z=\frac{3}{4}y \end{eqnarray*}$

das gleiche mit der ersten Gleichung ergibt für beide x-Werte und den z-Wert schließlich $\begin{eqnarray*} y=(\frac{4}{3})^{\frac{1}{5}} \end{eqnarray*}$

Also erhalte ich schließlich die beiden zu untersuchenden Punkte
$\begin{eqnarray*} ((\frac{3}{4})^{\frac{1}{5}},(\frac{4}{3})^{\frac{1}{5}},\frac{3}{4}(\frac{4}{3})^{\frac{1}{5}}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-(\frac{3}{4})^{\frac{1}{5}},(\frac{4}{3})^{\frac{1}{5}},\frac{3}{4}(\frac{4}{3})^{\frac{1}{5}}) \end{eqnarray*}$

Mir kommen die Werte schon sehr komisch vor...stimmt das überhaupt soweit verwirrt

So nun gehts an die Hessematrix, diese lautet bei mir

$\begin{eqnarray*} H_{f}(x,y,z)=\begin{pmatrix} 12x^3-4y^2z & -8xyz & -4xy^2 \\ -8xyz & -4x^2z & -4x^2y \\ -4xy^2 & -4x^2y & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun zu meinem Problem, ich bekomme beide male eine negative Determinante raus, das heißt beide male indefinit, also gibt es keine Extrema, was mir komisch vorkommt, ich denke wir sollten schon etwas "richtiges" rausbekommen, hoffe jemand findet meinen Fehler falls es diesen überhaupt gibt verwirrt

19.05.2012, 10:17

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lokale Extrema bestimmen
Erstens hast du bei der Hessematrix im allerersten Eintrag einen Fehler... Zweitens versteh ich nicht, warum bei einer negativen Determinante die Matrix indefinit sein soll, da musst du mich mal aufklären... Big Laugh

Edit: Für die Überprüfung der Richtigkeit (oder hier eigentlich Falschheit) solcher Behauptungen betrifft, empfielt es sich, möglich einfach Beispiele zu wählen, anhand derer man alles Wesentliche aber schon sieht... Beispielsweise hat die Funktion

f(x):=-x²+3

offensichtlich bei x=0 ein Maximum... Andererseits ist die Hessematrix hier

H=(-2)

und damit ist det(H)=-2 < 0, also deiner Meinung nach indefinit... Irgendwas passt da also nicht zusammen... geschockt

19.05.2012, 11:54

Savior

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort smile

stimmt ich hab mich beim ersten Eintrag verschrieben (hatte es aber auch meinem Blatt richtig smile

)

Also bezüglich der definitheit haben wir das so gesagt bekommen in der ANA-Übung
Wenn bei einer 2x2 Matrix det < 0 gilt, dann ist diese indefinit
für $\begin{eqnarray*} a_{11}>0 \end{eqnarray*}$ und det > 0 ist diese pos. definit
für $\begin{eqnarray*} a_{11}<0 \end{eqnarray*}$ und det > 0 ist diese neg. definit

Da wir kein Kriterium für eine 3x3 Matrix aufgestellt haben, habe ich diese mit umformen und dem laplace'schen entwicklungssatz auf eine 2x2 Matrix gebracht und bekomme dann eben det< 0 raus, was auf Indefinitheit schließt nach unserer Regel verwirrt

19.05.2012, 12:04

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Savior
Also bezüglich der definitheit haben wir das so gesagt bekommen in der ANA-Übung
Wenn bei einer 2x2 Matrix det < 0 gilt, dann ist diese indefinit
für $\begin{eqnarray*} a_{11}>0 \end{eqnarray*}$ und det > 0 ist diese pos. definit
für $\begin{eqnarray*} a_{11}<0 \end{eqnarray*}$ und det > 0 ist diese neg. definit

Ja, das stimmt ja auch alles... Aber ist dir eigentlich schon aufgefallen, dass es hier um eine 3x3-Matrix geht, auf die das daher nicht anwendbar ist? verwirrt

btw, kennst du eigentlich den Satz, wonach A genau dann negativ definit ist, wenn -A positiv definit ist? Versuch's mal damit, wenn dich mein obiges Beispiel schon nicht überzeugt...

19.05.2012, 12:12

Savior

Auf diesen Beitrag antworten »

hm den Satz kenne ich nicht, ich dachte nur ich könnte mit Umformen auf eine 2x2 Matrix unsere Sätze aus der Übung anwenden, scheinbar war das mein Fehler smile

Was ich bezüglich einer 3x3 Matrix weiß ist es die Hauptminoren zu überprüfen.
Sind alle positiv, dann ist die Matrix auch positiv def., was hier für den letzten nicht zutrifft.
Also kann sie schonmal nicht positiv def. sein.

Wie genau kann ich deinen Satz verstehen?
Das Minus bezieht sich auf jeden Eintrag in A, also ich veränder von jedem das Vorzeichen, oder bezieht sich das minus nur aufs Endergebnis, sprich auf die Determinante?

19.05.2012, 12:14

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

-A = (-1)A, d.h., das Minus bezieht sich natürlich auf jeden Eintrag der Matrix...

19.05.2012, 12:22

Savior

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, nur weiß ich hier leider nicht weiter unglücklich

Also der letzte Hauptminor, sprich detA ist dann positiv, nur der erste ist schonmal negativ unglücklich

Also ist -A ja nicht positiv def., sprich A auch nicht negativ def., oder mache ich hier was falsch? verwirrt

19.05.2012, 12:26

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du die Hauptminoren wirklich von -A genommen?

Edit: Scheint so zu sein... Aber es spricht ja auch nichts dagegen, dass die beiden stationären Stellen Sattelpunkte sind, oder? Nur deine anfängliche Begründung war falsch...

19.05.2012, 12:30

Savior

Auf diesen Beitrag antworten »

du hast ja gesagt jeder Eintrag ändert sich, das heißt, da $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ positiv war in A wird er in -A nun negativ, also ist der erste Hauptminor welcher ja $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ ist negativ, oder ist das falsch verwirrt

19.05.2012, 13:06

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Hessematrix ist für die beiden Punkte tatsächlich indefinit... Aber wie gesagt, es spricht ja auch nichts dagegen, wenn die Angabe wirklich so stimmt... Augenzwinkern

19.05.2012, 13:36

Savior

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, dann belass ich das so und gebe an dass es keine Extrema gibt smile

Mich hat dies nur gewundert, da dies die einzige Aufgabe zu lokalen Extrema auf dem Übungsblatt ist und sie eben lautet dass man alle $\begin{eqnarray*} x_{0}\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ finden soll in denen f ein lokaes Extremum besitzt.

Dachte es muss doch mindestens eins geben Big Laugh

Danke für die deine Hilfe Freude

Neue Frage »

Antworten »

Lokale Extrema bestimmen

Verwandte Themen