Polynomabbildung

19.05.2012, 14:27

meyro

Polynomabbildung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
gegeben ist Pn $\begin{eqnarray*} \subset Abb(\mathbb R ,\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ vom Grad <= n. Die Abbildungsvorschrift lautet:

T: Pn -> Pn, f -> f(x)+ f(-x)

Zz. ist, dass T linear ist.

Meine Ideen:
Lineare Abbildung bedeutet ja:

1. f(x+y)= f(x) + f(y)
2. f(a*x)= a*f(x)

Ich bin mir nicht sicher, ob ich dieses f(x) nicht einfach als
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_k*x^k \end{eqnarray*}$ schreiben darf,und dann ganz stur runterrechnen soll.

2. Würde damit super funktionieren, 1. aber nicht.

Würde mich über jede Hilfe freuen.

Gruß
meyro

19.05.2012, 14:38

Mulder

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RE: Polynomabbildung

Zitat:

Original von meyro
2. Würde damit super funktionieren, 1. aber nicht.

Wieso funktioniert 1. nicht? Nimm dir ein zweites Polynom

$\begin{eqnarray*} g=\sum b_kx^k \end{eqnarray*}$

und rechne es stur runter. Zu zeigen ist dann

$\begin{eqnarray*} T(f+g) = T(f)+T(g) \end{eqnarray*}$

19.05.2012, 14:50

meyro

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Damit habe ich gerade das Problem, ich weiß nicht wie ich das einsetzen soll.

19.05.2012, 14:58

Mulder

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Zitat:

Original von meyro
Damit habe ich gerade das Problem, ich weiß nicht wie ich das einsetzen soll.

Das steht doch hier:

Zitat:

T: Pn -> Pn, f -> f(x)+ f(-x)

19.05.2012, 15:05

meyro

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also muss ich zeigen:

f( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_k*x^k \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \sum b_kx^k \end{eqnarray*}$ ) = f( $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_k*x^k \end{eqnarray*}$ ) + f( $\begin{eqnarray*} \sum b_kx^k \end{eqnarray*}$ ) ?

19.05.2012, 15:07

Mulder

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Ja. Wobei unsere Abbildung eigentlich ja T heißt, und nicht f. f ist das Polynon mit den Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ . Jedenfalls hast du f so benannt.

Du kannst die Gleichung übrigens auch ruhig komplett in Latex schreiben, Klammern und Pluszeichen funktionieren auch.

19.05.2012, 15:15

meyro

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Okay:

$\begin{eqnarray*} T(f+g) = (\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k + \sum b_kx^k) -(\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k + \sum b_kx^k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(f) + T(g) = (\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k - \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k ) + ( \sum b_kx^k - \sum b_kx^k) \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig?

19.05.2012, 15:40

Mulder

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Eigentlich bildet T folgendermaßen ab:

$\begin{eqnarray*} T \left ( \sum_{k=0}^n a_kx^k \right ) = \sum_{k=0}^n a_kx^k + \sum_{k=0}^n a_k(-x)^k \end{eqnarray*}$

Du kannst in der zweiten Summe nicht einfach so ein Minus ausklammern!

$\begin{eqnarray*} f(-x) \neq -f(x) \end{eqnarray*}$

Bedenk doch, dass für gerade k das negative Vorzeichen vor dem x verschwindet. Bei dir würde T ja jedes Polynom auf das Nullpolynom abbilden, denn f(x)-f(x) ergibt logischerweise immer null.

19.05.2012, 16:23

meyro

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Entschuldigung, wenn ich mich so ungeschickt anstelle..
Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} T(f+g) = (\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k + \sum b_kx^k) +(\sum\limits_{k=0}^n a_k(-x)^k + \sum b_k(-x)^k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T(f) + T(g) = (\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k + \sum\limits_{k=0}^n a_k(-x)^k ) + ( \sum b_kx^k + \sum b_k(-x)^k) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe jetzt ist es richtig.

19.05.2012, 16:37

Mulder

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Eigentlich sollte man erst einmal

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x) = \sum_{k=0}^n (a_k+b_k) x^k \end{eqnarray*}$

schreiben, diesen Zwischenschritt würde ich noch einfügen. Dann diese Summe auseinander ziehen, dann steht das da, was du schon geschrieben hast.

Sonst stimmt das dann. Ist ja eigentlich auch ziemlich banal...

19.05.2012, 16:42

meyro

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Als Mathe-Erstis bekommen wir eigentlich nur Theorie vorgesetzt, darum haperts oftmals mit der Anwendung..
Trotzdem,
Vielen Dank für deine Geduld!!

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